Ostrosłup prawidłowy trójkątny

[poetaopole]

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem prostokątnym o polu 72. Oblicz jego objętość.

[Binio1]

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem prostokątnym o polu 72. Oblicz jego objętość.

Sciana boczna to trojkat rownoramienny z katem prostokatnym polozonym przy wiezcholku ostrosupa.

\(x\) - ramie ostrosupa
\(y\) - ramie podstawy

\(\frac{1}{2} \cdot x \cdot x = 72\)
\(x^2 = 36\)
\(x = 6\) lub \(x = -6\) (ujemny odrzucamy)

\(6^2 + 6^2 = y^2\)
\(y^2 = 72\)
\(y = \sqrt{72}\) lub \(y = -\sqrt{72}\) (ujemny odrzucamy)

Wysokosc podstawy:
\(\frac{\sqrt{72} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{216}}{2}\)

Wysokosc ostrosupa pada na \(\frac{2}{3}\) wysokosci podstawy
\(\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{216}}{2} = \frac{2\sqrt{216}}{6}\)

Obliczanie wysokosci ostrosupa(\(H\)):
\(x^2 = H^2+ (\frac{\sqrt{216}}{3})^2\)
\(H^2 = 6^2 - \frac{216}{9}\)
\(H^2 = 36-24\)
\(H^2 = 12\)
\(H = \sqrt{12}\) lub \(H = -\sqrt{12}\) (ujemny odrzucamy)


Pole podstawy:
\(\frac{\sqrt{72}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}\)

Objetosc ostrosupa:
\(V = \frac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} =\)
\(= 6\sqrt{36}\)

Odpowiedź: \(36\)