2 Zadania - płaszczyzny

[HubertGT]

1. Punkty A,B,C,D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wiadomo, że |AB| = |BC|. Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami odcinków AD,BD,CD. Wykaż, że:
a) trójkąt PQR jest równoramienny
b) płaszczyzna (PQR) jest równoległa do płaszczyzny (ABC)

2. Punkty K,L,M,N nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wykaż, że punkt N nie należy do prostej KL.

Bardzo prosiłbym o rozwiązanie z rysunkiem lub wytłumaczeniem.
Pozdrawiam

[radagast]

1. Punkty A,B,C,D nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wiadomo, że |AB| = |BC|. Punkty P, Q, R są odpowiednio środkami odcinków AD,BD,CD. Wykaż, że:
a) trójkąt PQR jest równoramienny
b) płaszczyzna (PQR) jest równoległa do płaszczyzny (ABC)

Skoro punkty A,B,C,D nie leżą w jednej płaszczyźnie, to można przyjąć, że są wierzchołkami czworościanu. Wygląda to tak:

ScreenHunter_926.jpg (9.39 KiB) Przejrzano 4897 razy

a)Z podobieństwa trójkątów \(ADB\) i \(PDQ\), \(PQ= \frac{1}{2}AB\).
Z podobieństwa trójkątów \(BDC\) i \(QDR\), \(QR= \frac{1}{2}BC\),
a skoro AB=BC , to istotnie: PQ=QR, czyli trójkąt PQR jest równoramienny
CBDO
b) Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa \(AB \parallel PQ\) oraz \(BC \parallel QR\)
Płaszczyzna PQR zawiera więc dwie proste równoległe do płaszczyzny ABC , jest więc do niej równoległa
CBDO

[radagast]

2. Punkty K,L,M,N nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wykaż, że punkt N nie należy do prostej KL.

Załóżmy , że punkt N należy do prostej KL. Wtedy należy również do płaszczyzny KLM co jest sprzeczne z założeniem, że punkty K,L,M,N nie leżą w jednej płaszczyźnie.
I to kończy dowód

[HubertGT]

Dziękuję! Idealnie rozwiązane Pozdrawiam!

[gonzalo2096]

..................