Zad.1.
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznacz:
a) cosinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej
b) sinus kąta między przekątną graniastosłupa i krawędzią boczną wychodzącymi z tego samego wierzchołka
Zad.2.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym sinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej jest równy \(\frac{2 \sqrt{3} }{5}\). Oblicz stosunek wysokości graniastosłupa do długości krawędzi podstawy.
graniastosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
madziaaalenaaa
- Rozkręcam się
- Posty: 49
- Rejestracja: 24 lis 2014, 18:24
- Podziękowania: 50 razy
- Płeć:
1.
Narysuj graniastosłup o dolnej podstawie ABCD i górnej odpowiednio EFGH.
Poprowadź odcinki BE i BH.
BE to przekątna ściany bocznej. BH to przekątna graniastosłupa.
a- długość krawędzi po0dstawy
H=2a - długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
W trójkącie EBH:
\(|EH|=a\\|BE|=p\\|BH|=k\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE:
\(a^2+H^2=p^2\\p^2=a^2+(2a)^2=a^2+4a^2=5a^2\\p=a\sqrt{5}\)
\(k^2=a^2+p^2=a^2+5a^2=6a^2\\k=a\sqrt{6}\)
a)
Kąt EBH to kąt, którego cosinus trzeba policzyć.
\(cos\alpha=\frac{p}{k}\\cos\alpha=\frac{a\sqrt{5}}{a\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}\)
b)
Poprowadź odcinek BD- przekątną podstawy.
\(|BD|=d=a\sqrt{2}\)
Kąt DHB to kąt, którego sinus trzeba policzyć
\(sin\beta=\frac{d}{k}\\sin\beta=\frac{d}{k}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Narysuj graniastosłup o dolnej podstawie ABCD i górnej odpowiednio EFGH.
Poprowadź odcinki BE i BH.
BE to przekątna ściany bocznej. BH to przekątna graniastosłupa.
a- długość krawędzi po0dstawy
H=2a - długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
W trójkącie EBH:
\(|EH|=a\\|BE|=p\\|BH|=k\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE:
\(a^2+H^2=p^2\\p^2=a^2+(2a)^2=a^2+4a^2=5a^2\\p=a\sqrt{5}\)
\(k^2=a^2+p^2=a^2+5a^2=6a^2\\k=a\sqrt{6}\)
a)
Kąt EBH to kąt, którego cosinus trzeba policzyć.
\(cos\alpha=\frac{p}{k}\\cos\alpha=\frac{a\sqrt{5}}{a\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{30}}{6}\)
b)
Poprowadź odcinek BD- przekątną podstawy.
\(|BD|=d=a\sqrt{2}\)
Kąt DHB to kąt, którego sinus trzeba policzyć
\(sin\beta=\frac{d}{k}\\sin\beta=\frac{d}{k}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
2.
Narysuj graniastosłup, w którym ABC to dolna podstawa i odpowiednio DEF- górna.
Zaznacz punkt G- środek krawędzi podstawy DE.
W trójkącie BFG kąt BGF to kąt prosty, a kąt FBG to kąt, którego sinus jest dany.
Oznacz:
a- długość krawędzi podstawy
H- długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
W trójkącie BFG:
\(|FG|=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\sin\alpha=\frac{h}{p}=\frac{2\sqrt{3}}{5}\\\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{p}=\frac{2\sqrt{3}}{5}\\\frac{a\sqrt{3}}{2p}=\frac{2\sqrt{3}}{5}\\4p=5a\\p=\frac{5}{4}a\)
W trójkącie BCF:
\(a^2+H^2=p^2\\a^2+H^2=(\frac{5}{4}a)^2\\H^2=\frac{25}{16}a^2-a^2=\frac{9}{16}a^2\\H=\frac{3}{4}a\\\frac{H}{a}=\frac{3}{4}\)
Narysuj graniastosłup, w którym ABC to dolna podstawa i odpowiednio DEF- górna.
Zaznacz punkt G- środek krawędzi podstawy DE.
W trójkącie BFG kąt BGF to kąt prosty, a kąt FBG to kąt, którego sinus jest dany.
Oznacz:
a- długość krawędzi podstawy
H- długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
W trójkącie BFG:
\(|FG|=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\sin\alpha=\frac{h}{p}=\frac{2\sqrt{3}}{5}\\\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{p}=\frac{2\sqrt{3}}{5}\\\frac{a\sqrt{3}}{2p}=\frac{2\sqrt{3}}{5}\\4p=5a\\p=\frac{5}{4}a\)
W trójkącie BCF:
\(a^2+H^2=p^2\\a^2+H^2=(\frac{5}{4}a)^2\\H^2=\frac{25}{16}a^2-a^2=\frac{9}{16}a^2\\H=\frac{3}{4}a\\\frac{H}{a}=\frac{3}{4}\)