Zad.1.
Długość tworzącej stożka wynosi d, a promień podstawy jest równy R. Oblicz objętość kuli opisanej na tym stożku.
Zad.2.
Stożek o wysokości H wpisano w kulę. Oblicz objętość kuli, wiedząc, że jest ona cztery razy większa od objętości stożka.
stożek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 49
- Rejestracja: 24 lis 2014, 18:24
- Podziękowania: 50 razy
- Płeć:
1.
Promień kuli opisanej na danym stożku, to promień koła opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie 2R i ramionach d.
H- wysokość śtożka
\(H^2=d^2-R^2\\H=\sqrt{d^2-R^2}\)
x- promień kuli opisanej na danym stożku
Z pola trójkąta opisanego na początku:
\(P=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot\sqrt{d^2-R^2}=\frac{d^2\cdot2R}{4x}\\\sqrt{d^2-R^2}=\frac{d^2}{2x}\\x=\frac{d^2}{2\sqrt{d^2-R^2}}\)
Objętość kuli:
\(V=\frac{4}{3}\pi x^3\\V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{d^6}{8(d^2-R^2)\sqrt{d^2-R^2}}=\frac{\pi d^6}{6(d^2-R^2)\sqrt{d^2-R^2}}\)
Promień kuli opisanej na danym stożku, to promień koła opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie 2R i ramionach d.
H- wysokość śtożka
\(H^2=d^2-R^2\\H=\sqrt{d^2-R^2}\)
x- promień kuli opisanej na danym stożku
Z pola trójkąta opisanego na początku:
\(P=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot\sqrt{d^2-R^2}=\frac{d^2\cdot2R}{4x}\\\sqrt{d^2-R^2}=\frac{d^2}{2x}\\x=\frac{d^2}{2\sqrt{d^2-R^2}}\)
Objętość kuli:
\(V=\frac{4}{3}\pi x^3\\V=\frac{4}{3}\pi\cdot\frac{d^6}{8(d^2-R^2)\sqrt{d^2-R^2}}=\frac{\pi d^6}{6(d^2-R^2)\sqrt{d^2-R^2}}\)
2.
r- promień podstawy stożka
H- wysokość stożka (dana)
l- tworząca stożka
R- promień kuli
R to promień koła opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie 2r i ramionach długości l.
\(4\cdot\frac{1}{3}\pi r^2H=\frac{4}{3}\pi R^3\\R^3=r^2H\)
\(l^2=H^2+r^2\\l=\sqrt{H^2+r^2}\)
Z pola trójkąta równoramiennego:
\(P=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot H=\frac{l^2\cdot2r}{4R}\\l^2=2H^2\)
\(H^2+r^2=2H^2\\r^2=H^2\\r=H\)
\(R^3=H^2\cdot H=H^3\)
Objętość kuli:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi H^3\)
r- promień podstawy stożka
H- wysokość stożka (dana)
l- tworząca stożka
R- promień kuli
R to promień koła opisanego na trójkącie równoramiennym o podstawie 2r i ramionach długości l.
\(4\cdot\frac{1}{3}\pi r^2H=\frac{4}{3}\pi R^3\\R^3=r^2H\)
\(l^2=H^2+r^2\\l=\sqrt{H^2+r^2}\)
Z pola trójkąta równoramiennego:
\(P=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot H=\frac{l^2\cdot2r}{4R}\\l^2=2H^2\)
\(H^2+r^2=2H^2\\r^2=H^2\\r=H\)
\(R^3=H^2\cdot H=H^3\)
Objętość kuli:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi H^3\)
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 113
- Rejestracja: 17 sie 2017, 20:34
- Podziękowania: 34 razy
- Otrzymane podziękowania: 2 razy
- Płeć:
Re: stożek
w drugim zadaniu chyba trzeba rozpatrzeć więcej przypadków, gdyż odpowiedzią jest także
\(\frac{4}{3} \pi *( \sqrt{5} - 2)*H^3\)
\(\frac{4}{3} \pi *( \sqrt{5} - 2)*H^3\)