Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jula41 -k
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 06 sty 2016, 13:55
Płeć:

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: jula41 -k »

Dłuższa przekątna graniastusłupa prawidłowego sześciokątnego ma dł 8cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30stopni. Oblicz
a) tangens kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy
B) pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
C) objętość graniastosłupa
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

a- długość krawędzi podstawy
H- długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
D=8 - dłuższa przekątna graniastosłupa
d=2a - dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa
\(k=a\sqrt{3}\) - krótsza przekątna podstawy
K- krótsza przekątna graniastosłupa

a)
Trójkąt o przyprostokątnych H i d oraz przeciwprostokątnej D to trójkąt, w którym kąt przy d ma miarę \(30^0\)
Trójkąt o przyprostokątnych H i k oraz przeciwprostokątnej K to trójkąt, w którym trzeba obliczyć tangens kąta ostrego przy k.

\(\frac{H}{d}=tg30^0\\\frac{H}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{H}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(tg\alpha=\frac{H}{k}=\frac{H}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\)

b)
W trójkącie o bokach H, d i D:
\(\frac{H}{D}=sin30^0\\\frac{H}{8}=\frac{1}{2}\\H=4cm\)

\(H^2+d^2=D^2\\4^2+(2a)^2=8^2\\16+4a^2=64\\4a^2=48\\a^2=12\\a=2\sqrt{3}cm\)

Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{12\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}cm^2\)

Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=6aH=6\cdot2\sqrt{3}\cdot4=48\sqrt{3}cm^2\)

Pole całkowitej powierzchni:
\(P_c=2\cdot18\sqrt{3}+48\sqrt{3}=84\sqrt{3}cm^2\)

c)
Objętość graniastosłupa:
\(V=P_p\cdot H=18\sqrt{3}\cdot4=72\sqrt{3}cm^3\)
ODPOWIEDZ