Dłuższa przekątna graniastusłupa prawidłowego sześciokątnego ma dł 8cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30stopni. Oblicz
a) tangens kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy
B) pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
C) objętość graniastosłupa
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a- długość krawędzi podstawy
H- długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
D=8 - dłuższa przekątna graniastosłupa
d=2a - dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa
\(k=a\sqrt{3}\) - krótsza przekątna podstawy
K- krótsza przekątna graniastosłupa
a)
Trójkąt o przyprostokątnych H i d oraz przeciwprostokątnej D to trójkąt, w którym kąt przy d ma miarę \(30^0\)
Trójkąt o przyprostokątnych H i k oraz przeciwprostokątnej K to trójkąt, w którym trzeba obliczyć tangens kąta ostrego przy k.
\(\frac{H}{d}=tg30^0\\\frac{H}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{H}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
\(tg\alpha=\frac{H}{k}=\frac{H}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\)
b)
W trójkącie o bokach H, d i D:
\(\frac{H}{D}=sin30^0\\\frac{H}{8}=\frac{1}{2}\\H=4cm\)
\(H^2+d^2=D^2\\4^2+(2a)^2=8^2\\16+4a^2=64\\4a^2=48\\a^2=12\\a=2\sqrt{3}cm\)
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{12\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}cm^2\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=6aH=6\cdot2\sqrt{3}\cdot4=48\sqrt{3}cm^2\)
Pole całkowitej powierzchni:
\(P_c=2\cdot18\sqrt{3}+48\sqrt{3}=84\sqrt{3}cm^2\)
c)
Objętość graniastosłupa:
\(V=P_p\cdot H=18\sqrt{3}\cdot4=72\sqrt{3}cm^3\)
H- długość krawędzi bocznej (wysokość graniastosłupa)
D=8 - dłuższa przekątna graniastosłupa
d=2a - dłuższa przekątna podstawy graniastosłupa
\(k=a\sqrt{3}\) - krótsza przekątna podstawy
K- krótsza przekątna graniastosłupa
a)
Trójkąt o przyprostokątnych H i d oraz przeciwprostokątnej D to trójkąt, w którym kąt przy d ma miarę \(30^0\)
Trójkąt o przyprostokątnych H i k oraz przeciwprostokątnej K to trójkąt, w którym trzeba obliczyć tangens kąta ostrego przy k.
\(\frac{H}{d}=tg30^0\\\frac{H}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\\frac{H}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
\(tg\alpha=\frac{H}{k}=\frac{H}{a\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\)
b)
W trójkącie o bokach H, d i D:
\(\frac{H}{D}=sin30^0\\\frac{H}{8}=\frac{1}{2}\\H=4cm\)
\(H^2+d^2=D^2\\4^2+(2a)^2=8^2\\16+4a^2=64\\4a^2=48\\a^2=12\\a=2\sqrt{3}cm\)
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{12\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}cm^2\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=6aH=6\cdot2\sqrt{3}\cdot4=48\sqrt{3}cm^2\)
Pole całkowitej powierzchni:
\(P_c=2\cdot18\sqrt{3}+48\sqrt{3}=84\sqrt{3}cm^2\)
c)
Objętość graniastosłupa:
\(V=P_p\cdot H=18\sqrt{3}\cdot4=72\sqrt{3}cm^3\)