Ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Pomocy !
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Pomocy !
Krawędź podstawy ostrusłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 8cm. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.
a=8cm - długość krawędzi podstawy
h- wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź podstawy
b- długość krawędzi bocznej
k- wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź boczną
H- wysokość ostrosłupa
p- krótsza przekątna podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych H i r i przeciwprostokątnej h kąt przy r ma miarę \(60^0\)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}cm\)
\(\frac{r}{h}=cos60^0\\\frac{4\sqrt{3}}{h}=\frac{1}{2}\\h=8\sqrt{3}cm\)
Ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie a i ramionach b. Wysokość h jest opuszczona na bok a. Wysokość k jest opuszczona na bok b.
\(h^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\b^2=(8\sqrt{3})^2+4^2=192+16=208\\b=4\sqrt{13}cm\)
Z pola ściany bocznej:
\(\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bk\\\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{13}\cdot k\\k=\frac{64\sqrt{3}}{4\sqrt{13}}=\frac{16\sqrt{39}}{13}cm\)
\(p=a\sqrt{3}=8\sqrt{3}cm\)
W trójkącie równoramiennym o podstawie p i ramionach k należy obliczyć cosinus kąta między ramionami.
Z twierdzenia cosinusów:
\(p^2=2k^2-2k^2cos\alpha\\2k^2cos\alpha=2k^2-p^2\\cos\alpha=\frac{2k^2-p^2}{2k^2}\\cos\alpha=\frac{2\cdot(\frac{16\sqrt{39}}{13})^2-(8\sqrt{3})^2}{2\cdot(\frac{16\sqrt{39}}{13})^2}=\frac{\frac{2\cdot256\cdot39}{169}-192}{\frac{2\cdot256\cdot39}{169}}=\frac{1536-2496}{13}\cdot\frac{13}{1536}=-\frac{960}{1536}=-\frac{5}{8}\)
h- wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź podstawy
b- długość krawędzi bocznej
k- wysokość ściany bocznej opuszczona na krawędź boczną
H- wysokość ostrosłupa
p- krótsza przekątna podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych H i r i przeciwprostokątnej h kąt przy r ma miarę \(60^0\)
\(r=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}cm\)
\(\frac{r}{h}=cos60^0\\\frac{4\sqrt{3}}{h}=\frac{1}{2}\\h=8\sqrt{3}cm\)
Ściana boczna to trójkąt równoramienny o podstawie a i ramionach b. Wysokość h jest opuszczona na bok a. Wysokość k jest opuszczona na bok b.
\(h^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\\b^2=(8\sqrt{3})^2+4^2=192+16=208\\b=4\sqrt{13}cm\)
Z pola ściany bocznej:
\(\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bk\\\frac{1}{2}\cdot8\cdot8\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{13}\cdot k\\k=\frac{64\sqrt{3}}{4\sqrt{13}}=\frac{16\sqrt{39}}{13}cm\)
\(p=a\sqrt{3}=8\sqrt{3}cm\)
W trójkącie równoramiennym o podstawie p i ramionach k należy obliczyć cosinus kąta między ramionami.
Z twierdzenia cosinusów:
\(p^2=2k^2-2k^2cos\alpha\\2k^2cos\alpha=2k^2-p^2\\cos\alpha=\frac{2k^2-p^2}{2k^2}\\cos\alpha=\frac{2\cdot(\frac{16\sqrt{39}}{13})^2-(8\sqrt{3})^2}{2\cdot(\frac{16\sqrt{39}}{13})^2}=\frac{\frac{2\cdot256\cdot39}{169}-192}{\frac{2\cdot256\cdot39}{169}}=\frac{1536-2496}{13}\cdot\frac{13}{1536}=-\frac{960}{1536}=-\frac{5}{8}\)