ośmiościan foremny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
agnieszka91
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 5
Rejestracja: 04 gru 2009, 22:31

ośmiościan foremny

Post autor: agnieszka91 » 24 lut 2010, 23:00

Będę wdzięczna za pomoc!!!
1) Środki ścian bocznych sześcianu są wierzchołkami ośmiościanu foremnego. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równa P. Oblicz pole powierzchni ośmiościanu.

BetrR65
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 159
Rejestracja: 21 lut 2010, 13:51
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Post autor: BetrR65 » 24 lut 2010, 23:58

Jeśli krawędź sześcianu, w którym jest "wpisany" ośmioscian, oznaczymy przez a, to jeśli przekroimy sześcian płaszczyzna prostopadła do wszystkich czterech rownoległych krawędzi w połowie ich długości, to w przekroju otrzymamy kwadrat o boku
\(\frac{a \sqrt{2}}{2}\)
Ponieważ przekrój ten jest jednakowy w każdym przypadku, to można zauważyc, że ściana ośmiościanu jest trójkątem równobocznym o boku równym długości
\(\frac{a \sqrt{2}}{2}\)
Pole takiej jednej ściany (ze wzoru na pole trójkąta równobocznego) wynosi:
\(P_s= \frac{ (\frac{a* \sqrt{2} }{2})^2 * \sqrt{3} }{4}= \frac{a^2* \sqrt{3} }{8}\)
Pole osmiościanu składającego się z osmiu identycznych ścian wynosi:
\(P_c=8* \frac{a^2* \sqrt{3} }{8}=a^2* \sqrt{3}\)

Ponieważ z warunków zadania mamy
\(P=6*a^2 \Rightarrow a^2= \frac{P}{6}\)

Ostatecznie
\(P_c= \frac{P* \sqrt{3} }{6}\)