Ostrosłup i kąt przy wierzchołku

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MAT123456789
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 12 gru 2015, 20:07
Podziękowania: 3 razy

Ostrosłup i kąt przy wierzchołku

Post autor: MAT123456789 »

W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym płaszczyzna zawierająca jedną z krawędzi podstawy i
prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej, dzieli ostrosłup na dwa wielościany, których objętości są do siebie w stosunku 2:3. Wyznacz cosinus kąta płaskiego przy wierzchołku ostrosłupa.


Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania :)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

ScreenHunter_838.jpg
ScreenHunter_838.jpg (11.48 KiB) Przejrzano 2094 razy
z podanych warunków wynika, z krawędź boczna jest dzielona przez płaszczyznę przekroju w stosunku 3:2.
Z podobieństwa trójkątów ATS i APB mamy więc \(\frac{2}{a}= \frac{ \frac{a}{2} }{5}\)
stąd \(a=2 \sqrt{5}\)
No to \(\sin \frac{ \alpha }{2}= \frac{ \sqrt{5} }{5}\)
czyli (wobec "ostrości" kąta \(\frac{ \alpha }{2}\)) \(\cos \frac{ \alpha }{2}= \frac{2}{ \sqrt{5} }\)
i mamy \(\cos \alpha = \frac{4}{5}- \frac{1}{5}= \frac{3}{5}\)

Uwaga
Trzeba jeszcze rozpatrzyć drugi przypadek.
Taki:
ScreenHunter_839.jpg
ScreenHunter_839.jpg (12.44 KiB) Przejrzano 2093 razy
dasz radę sam ?
MAT123456789
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 12 gru 2015, 20:07
Podziękowania: 3 razy

Re: Ostrosłup i kąt przy wierzchołku

Post autor: MAT123456789 »

Tylko nie wiem czemu dzieli krawędź boczną w stosunku 2:3, jeśli to jest stosunek objętości, to czemu to się tak przekłada na krawędź boczną. Nie powinno być pierwiastków sześciennych ?
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Nie:
\(V_1= \frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |AP|\)
\(V_2= \frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |PS|\)
\(\frac{3}{2}= \frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |AP|}{\frac{1}{3}P_{ \Delta PBC} \cdot |PS|} \So \frac{|AP|}{|PS|}= \frac{3}{2}\)
MAT123456789
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 12 gru 2015, 20:07
Podziękowania: 3 razy

Post autor: MAT123456789 »

Dzięki bardzo za pomoc i wytłumaczenie :)
ODPOWIEDZ