Sześcian , graniastosłup ,stożek wpisany w walec

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
keti16
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 25 paź 2009, 09:56

Sześcian , graniastosłup ,stożek wpisany w walec

Post autor: keti16 » 22 lut 2010, 18:16

Nie jestem zbyt dobra z matematyki dlatego proszę o pomoc :
zad1. Znajdź miarę Kąta między przekątnymi sześcianu .
zad2. Wysokość graniastosłupa prostego ma długość \sqrt{15} , a jego podstawą jest trapez równoramienny o bokach długości 3,\sqrt{2} ,1,\sqrt{2}.
a)Znajdź miary kątów między sąsiednimi ścianami bocznymi ?
b)Pod jakim kątem przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy ?
zad3.W stożek wpisano walec , którego promień podstawy jest 3 razy mniejszy od promienia podstawy stożka . Oblicz stosunek objętości tych brył .

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 23 lut 2010, 10:51

1.
Kąt między przekątnymi sześcianu to kąt między przekątnymi w prostokącie o bokach długości \(a\ i\ a\sqrt{2}\), gdzie a- krawędź sześcianu. Przekątna sześcianu ma długość równą \(a\sqrt{3}\). Przekątne te przecinają się pod kątem \(\alpha\) i dzielą się na połowy. Kąt \(\alpha\) to kąt w trójkącie równoramiennym o podstawie a i ramionach długości \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Wysokość tego trójkąta dzieli na połowy podstawę i kąt \(\alpha\).
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\\sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{3}\\cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{2}{3}\\cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sqrt{6}}{3}\\sin\alpha=2sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\ cos(\frac{\alpha}{2})\\sin\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}\\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 23 lut 2010, 11:03

2.
a)
Kąty między sąsiednimi ścianami bocznymi to kąty trapezu. \(\alpha\)- kąt ostry trapezu. Podstawy tego trapezu mają długości1, 3, a ramiona po \(\sqrt{2}\). Wysokość trapezu poprowadzona z końca dłuższej podstawy wyznacza trójkąt prostokątny o kącie \(\alpha\), przyprostokątnej równej 1 i przeciwprostokątnej [tex[\sqrt{2}[/tex].
\(cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Stąd \(\alpha=45^o\)
Kąty między sąsiednimi ścianami bocznymi mają miary \(45^o\ i\ 135^o\).

b)
Wysokość tego trapezu ma więc długość równą 1.
Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy (\(\beta\)) jest kątem między tą przekątną a przekątną podstawy. Przekątna podstawy wraz z wysokością wyznacza trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne maja długości 1 i 2. p- długość przekątnej trapezu.
\(p^2=2^2+1^2\\p^2=5\\p=\sqrt{5}\\tg\beta=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}\\tg\beta=\sqrt{3}\\\beta=60^o\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 23 lut 2010, 11:12

3.
W przekroju osiowym mamy tu prostokąt wpisany w trójkąt równoramienny. Jeśli promień podstawy walca oznaczymy r, to promień podstawy stożka wynosi 3r, podstawa trójkąta na przekroju wynosi 6r. Wysokość tego trójkąta to wysokość stożka. Oznaczmy ją H. Trójkąt równoramienny "odcięty" na górze trójkata równoramiennego jest podobny do wyjściowego w skali \(\frac{1}{3}\). Czyli wysokość walca to \(\frac{2}{3}H\).

\(V_w=\pi\ r^2\cdot\frac{2}{3}H=\frac{2}{3}\pi\ r^2H\\V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot(3r)^2H=3\pi\ r^2H\\\frac{V_w}{V_s}=\frac{\frac{2}{3}\pi\ r^2H}{3\pi\ r^2H}=\frac{2}{9}\)

keti16
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 11
Rejestracja: 25 paź 2009, 09:56

Post autor: keti16 » 24 lut 2010, 10:43

Ślicznie dziękuję .