Nie jestem zbyt dobra z matematyki dlatego proszę o pomoc :
zad1. Znajdź miarę Kąta między przekątnymi sześcianu .
zad2. Wysokość graniastosłupa prostego ma długość \sqrt{15} , a jego podstawą jest trapez równoramienny o bokach długości 3,\sqrt{2} ,1,\sqrt{2}.
a)Znajdź miary kątów między sąsiednimi ścianami bocznymi ?
b)Pod jakim kątem przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy ?
zad3.W stożek wpisano walec , którego promień podstawy jest 3 razy mniejszy od promienia podstawy stożka . Oblicz stosunek objętości tych brył .
Sześcian , graniastosłup ,stożek wpisany w walec
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Kąt między przekątnymi sześcianu to kąt między przekątnymi w prostokącie o bokach długości \(a\ i\ a\sqrt{2}\), gdzie a- krawędź sześcianu. Przekątna sześcianu ma długość równą \(a\sqrt{3}\). Przekątne te przecinają się pod kątem \(\alpha\) i dzielą się na połowy. Kąt \(\alpha\) to kąt w trójkącie równoramiennym o podstawie a i ramionach długości \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Wysokość tego trójkąta dzieli na połowy podstawę i kąt \(\alpha\).
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\\sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{3}\\cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{2}{3}\\cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sqrt{6}}{3}\\sin\alpha=2sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\ cos(\frac{\alpha}{2})\\sin\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}\\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
Kąt między przekątnymi sześcianu to kąt między przekątnymi w prostokącie o bokach długości \(a\ i\ a\sqrt{2}\), gdzie a- krawędź sześcianu. Przekątna sześcianu ma długość równą \(a\sqrt{3}\). Przekątne te przecinają się pod kątem \(\alpha\) i dzielą się na połowy. Kąt \(\alpha\) to kąt w trójkącie równoramiennym o podstawie a i ramionach długości \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Wysokość tego trójkąta dzieli na połowy podstawę i kąt \(\alpha\).
\(sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}\\sin(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sqrt{3}}{3}\\sin^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{1}{3}\\cos^2(\frac{\alpha}{2})=\frac{2}{3}\\cos(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sqrt{6}}{3}\\sin\alpha=2sin(\frac{\alpha}{2})\cdot\ cos(\frac{\alpha}{2})\\sin\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}\\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
2.
a)
Kąty między sąsiednimi ścianami bocznymi to kąty trapezu. \(\alpha\)- kąt ostry trapezu. Podstawy tego trapezu mają długości1, 3, a ramiona po \(\sqrt{2}\). Wysokość trapezu poprowadzona z końca dłuższej podstawy wyznacza trójkąt prostokątny o kącie \(\alpha\), przyprostokątnej równej 1 i przeciwprostokątnej [tex[\sqrt{2}[/tex].
\(cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Stąd \(\alpha=45^o\)
Kąty między sąsiednimi ścianami bocznymi mają miary \(45^o\ i\ 135^o\).
b)
Wysokość tego trapezu ma więc długość równą 1.
Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy (\(\beta\)) jest kątem między tą przekątną a przekątną podstawy. Przekątna podstawy wraz z wysokością wyznacza trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne maja długości 1 i 2. p- długość przekątnej trapezu.
\(p^2=2^2+1^2\\p^2=5\\p=\sqrt{5}\\tg\beta=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}\\tg\beta=\sqrt{3}\\\beta=60^o\)
a)
Kąty między sąsiednimi ścianami bocznymi to kąty trapezu. \(\alpha\)- kąt ostry trapezu. Podstawy tego trapezu mają długości1, 3, a ramiona po \(\sqrt{2}\). Wysokość trapezu poprowadzona z końca dłuższej podstawy wyznacza trójkąt prostokątny o kącie \(\alpha\), przyprostokątnej równej 1 i przeciwprostokątnej [tex[\sqrt{2}[/tex].
\(cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Stąd \(\alpha=45^o\)
Kąty między sąsiednimi ścianami bocznymi mają miary \(45^o\ i\ 135^o\).
b)
Wysokość tego trapezu ma więc długość równą 1.
Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy (\(\beta\)) jest kątem między tą przekątną a przekątną podstawy. Przekątna podstawy wraz z wysokością wyznacza trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne maja długości 1 i 2. p- długość przekątnej trapezu.
\(p^2=2^2+1^2\\p^2=5\\p=\sqrt{5}\\tg\beta=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}\\tg\beta=\sqrt{3}\\\beta=60^o\)
3.
W przekroju osiowym mamy tu prostokąt wpisany w trójkąt równoramienny. Jeśli promień podstawy walca oznaczymy r, to promień podstawy stożka wynosi 3r, podstawa trójkąta na przekroju wynosi 6r. Wysokość tego trójkąta to wysokość stożka. Oznaczmy ją H. Trójkąt równoramienny "odcięty" na górze trójkata równoramiennego jest podobny do wyjściowego w skali \(\frac{1}{3}\). Czyli wysokość walca to \(\frac{2}{3}H\).
\(V_w=\pi\ r^2\cdot\frac{2}{3}H=\frac{2}{3}\pi\ r^2H\\V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot(3r)^2H=3\pi\ r^2H\\\frac{V_w}{V_s}=\frac{\frac{2}{3}\pi\ r^2H}{3\pi\ r^2H}=\frac{2}{9}\)
W przekroju osiowym mamy tu prostokąt wpisany w trójkąt równoramienny. Jeśli promień podstawy walca oznaczymy r, to promień podstawy stożka wynosi 3r, podstawa trójkąta na przekroju wynosi 6r. Wysokość tego trójkąta to wysokość stożka. Oznaczmy ją H. Trójkąt równoramienny "odcięty" na górze trójkata równoramiennego jest podobny do wyjściowego w skali \(\frac{1}{3}\). Czyli wysokość walca to \(\frac{2}{3}H\).
\(V_w=\pi\ r^2\cdot\frac{2}{3}H=\frac{2}{3}\pi\ r^2H\\V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot(3r)^2H=3\pi\ r^2H\\\frac{V_w}{V_s}=\frac{\frac{2}{3}\pi\ r^2H}{3\pi\ r^2H}=\frac{2}{9}\)