Stożek o promieniu podstawy długości 6 cm i tworzącej długości 9 cm przecięto
płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i nachyloną do płaszczyzny
podstawy pod kątem o mierze pi/3. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Proszę o pomoc
stożek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Szimi10
- Często tu bywam
- Posty: 175
- Rejestracja: 16 kwie 2009, 16:51
- Otrzymane podziękowania: 38 razy
Na początek policzmy wysokość stożka z tw. Pitagorasa:
\(l^2=r^2+H^2\\
9^2=6^2+H^2\\
81-36=H^2\\
H=3\sqrt 5.\)
Mamy wysokość, mamy kąt pod jakim pada płaszczyzna (a zarazem mamy kąt pod jakim pada wysokość trójkąta utworzonego przez tą płaszczyznę). Policzymy wysokość \(h\) tego trójkąta:
\(sin \alpha = \frac{H}{h}\) - w naszym przypadku \(H\) to wysokość stożka, \(h\) to wysokość trójkąta utworzonego przez płaszczyznę, \(\alpha\) to kąt pod jakim nacylona wysokość trójkąta do płaszczyzny podstawy, wiemy dodatkowo, że \(H\) pada pod kątem prostym na podstawe dlatego mamy trójkąt prostokątny.
Podstawiamy:
\(sin{ \frac{\pi}{3}}=\frac{3\sqrt 5}{h} \\
\frac{\sqrt 3}{2} \cdot h = 3 \sqrt 5 \ \ \/\cdot \frac{2}{\sqrt 3} \\
h=\frac{6 \sqrt 5}{\sqrt 3} = 2 \sqrt {15}\)
Można to było też zrobić ze związków miarowych.
Teraz musimy obliczyć odległość cięciwy (podstawy naszego trójkąta utwożonego przez płaszczyznę) od średnicy koła w podstawie (odległość tą oznaczmy jako \(x\)). Liczymy:
\(cos \alpha = \frac{x}{h}\\
cos{ \frac{\pi}{3} }\cdot h= x\\
x=\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{15}\\
x=\sqrt{15}\)
Mamy tą odległość, teraz zajmiemy się cięciwą, żeby ją policzyć wykożystamy właśnie obliczony punkt.
Wyobraźmy sobie podstawę stożka, przez cięciwę zawsze przechodzi jakiś promień pod kątem prostym, my policzyliśmy odległość cięciwy od środka okręgu(nasz \(x\)). Teraz wykożystamy, że do punktu w którym cięciwa styka się z krawędzią koła też dochodzi jakiś promień, dokładnie długości \(r\). Skoro mamy kąt prosty jaki tworzy promień z cięciwą, mamy długość tego odcinka oraz mamy długość promienia, to z tw. Pitagorasa policzymy długość połowy naszej cięciwy (ozn. \(a\)), co stanowi połowę długości podstawy naszego trójkąta (utwożonego przez płaszczyznę).
Zatem liczymy:
\(x^2+a^2=r^2\\
15+a^2=36\\
a=\sqrt {21}\)
Teraz możemy policzyć pole trójkąta, mamy h, mamy polowę długości podstawy a, to zaczynamy:
\(P=a\cdot h = \sqrt {21} \cdot 2 \cdot \sqrt {15} = 2 \sqrt {35 \cdot 9} =6 \sqrt {35}.\)
Odp: \(P=6 \sqrt {35}.\)
Pozdrawiam
Szymon.
\(l^2=r^2+H^2\\
9^2=6^2+H^2\\
81-36=H^2\\
H=3\sqrt 5.\)
Mamy wysokość, mamy kąt pod jakim pada płaszczyzna (a zarazem mamy kąt pod jakim pada wysokość trójkąta utworzonego przez tą płaszczyznę). Policzymy wysokość \(h\) tego trójkąta:
\(sin \alpha = \frac{H}{h}\) - w naszym przypadku \(H\) to wysokość stożka, \(h\) to wysokość trójkąta utworzonego przez płaszczyznę, \(\alpha\) to kąt pod jakim nacylona wysokość trójkąta do płaszczyzny podstawy, wiemy dodatkowo, że \(H\) pada pod kątem prostym na podstawe dlatego mamy trójkąt prostokątny.
Podstawiamy:
\(sin{ \frac{\pi}{3}}=\frac{3\sqrt 5}{h} \\
\frac{\sqrt 3}{2} \cdot h = 3 \sqrt 5 \ \ \/\cdot \frac{2}{\sqrt 3} \\
h=\frac{6 \sqrt 5}{\sqrt 3} = 2 \sqrt {15}\)
Można to było też zrobić ze związków miarowych.
Teraz musimy obliczyć odległość cięciwy (podstawy naszego trójkąta utwożonego przez płaszczyznę) od średnicy koła w podstawie (odległość tą oznaczmy jako \(x\)). Liczymy:
\(cos \alpha = \frac{x}{h}\\
cos{ \frac{\pi}{3} }\cdot h= x\\
x=\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{15}\\
x=\sqrt{15}\)
Mamy tą odległość, teraz zajmiemy się cięciwą, żeby ją policzyć wykożystamy właśnie obliczony punkt.
Wyobraźmy sobie podstawę stożka, przez cięciwę zawsze przechodzi jakiś promień pod kątem prostym, my policzyliśmy odległość cięciwy od środka okręgu(nasz \(x\)). Teraz wykożystamy, że do punktu w którym cięciwa styka się z krawędzią koła też dochodzi jakiś promień, dokładnie długości \(r\). Skoro mamy kąt prosty jaki tworzy promień z cięciwą, mamy długość tego odcinka oraz mamy długość promienia, to z tw. Pitagorasa policzymy długość połowy naszej cięciwy (ozn. \(a\)), co stanowi połowę długości podstawy naszego trójkąta (utwożonego przez płaszczyznę).
Zatem liczymy:
\(x^2+a^2=r^2\\
15+a^2=36\\
a=\sqrt {21}\)
Teraz możemy policzyć pole trójkąta, mamy h, mamy polowę długości podstawy a, to zaczynamy:
\(P=a\cdot h = \sqrt {21} \cdot 2 \cdot \sqrt {15} = 2 \sqrt {35 \cdot 9} =6 \sqrt {35}.\)
Odp: \(P=6 \sqrt {35}.\)
Pozdrawiam
Szymon.