Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku a i kącie ostrym a. Dłuższa
przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt b . Oblicz objętość
walca wpisanego w ten graniastosłup.
Proszę o pomoc
Z góry dziękuje
graniastosłup prosty o podstawie rombu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Podstawa walca jest kołem wpisanym w opisany romb. Jego średnica jest równa wysokości rombu.
h- wysokość rombu, r- promień podstawy walca
\(a^2sin\alpha=ah\\h=a\ sin\alpha\\r=\frac{a sin\alpha}{2}\).
Obliczam dłuższą przekątną rombu (d):
\(\frac{\frac{d}{2}}{a}=cos(\frac{\alpha}{2})\\d=2a\ cos(\frac{\alpha}{2})\)
Dłuższa przekątna graniastosłupa wraz z dłuższą przekątną rombu i wysokością graniastosłupa (i walca) - H trójkąt prostokątny z ostrym kątem \(\beta\)
\(\frac{H}{d}=tg\beta\\H=d\ tg\beta\\H=2a\ cos(\frac{\alpha}{2})tg\beta\)
Objętość walca:
\(V=\pi\ r^2H\\V=\pi\cdot(\frac{a\ sin\alpha}{2})^2\cdot2a\ cos(\frac{\alpha}{2})tg\beta\\V=\frac{\pi\ a^3}{2}\cdot\ sin^2(\frac{\alpha}{2})\ cos(\frac{\alpha}{2})tg\beta\)
h- wysokość rombu, r- promień podstawy walca
\(a^2sin\alpha=ah\\h=a\ sin\alpha\\r=\frac{a sin\alpha}{2}\).
Obliczam dłuższą przekątną rombu (d):
\(\frac{\frac{d}{2}}{a}=cos(\frac{\alpha}{2})\\d=2a\ cos(\frac{\alpha}{2})\)
Dłuższa przekątna graniastosłupa wraz z dłuższą przekątną rombu i wysokością graniastosłupa (i walca) - H trójkąt prostokątny z ostrym kątem \(\beta\)
\(\frac{H}{d}=tg\beta\\H=d\ tg\beta\\H=2a\ cos(\frac{\alpha}{2})tg\beta\)
Objętość walca:
\(V=\pi\ r^2H\\V=\pi\cdot(\frac{a\ sin\alpha}{2})^2\cdot2a\ cos(\frac{\alpha}{2})tg\beta\\V=\frac{\pi\ a^3}{2}\cdot\ sin^2(\frac{\alpha}{2})\ cos(\frac{\alpha}{2})tg\beta\)