czworościan-dowodzenie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
NieDlaOka37
- Czasem tu bywam
- Posty: 86
- Rejestracja: 07 mar 2009, 12:57
czworościan-dowodzenie
Wewnątrz czworościanu , którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość, wybrano dowolnie punkt P. Wykaż, że suma odległości punktu P od wszystkich ścian bryły jest równa wysokości tego czworościanu.
-
anka
- Expert
- Posty: 6587
- Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
- Podziękowania: 30 razy
- Otrzymane podziękowania: 1117 razy
- Płeć:
Jeżeli połączycz punkt P z wierzchołkami czworościanu otrzymasz wewnątrz cztery ostrosłupy, których podstawami będą ściany danego ostrosłupa, czyli trójkąty równoboczne.
Odległość punktu P od ściany to wyskość powstałych ostrosłupów.
\(h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\) - wysokości ostrosłupów, których wierzchołkiem jest punkt P
\(V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\)-objętości powstałych ostrosłupów
\(H\)-wysokość danego czworościanu
\(V\)-objętość czworościanu
\(V= \frac{1}{3}P_{p}H\)
\(V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}\)
\(\frac{1}{3}P_{p}H =\frac{1}{3}P_{p}h_{1}+\frac{1}{3}P_{p}h_{2} +\frac{1}{3}P_{p}h_{3}+\frac{1}{3}P_{p}h_{4}\)
\(H=h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\)
Odległość punktu P od ściany to wyskość powstałych ostrosłupów.
\(h_{1},h_{2},h_{3},h_{4}\) - wysokości ostrosłupów, których wierzchołkiem jest punkt P
\(V_{1},V_{2},V_{3},V_{4}\)-objętości powstałych ostrosłupów
\(H\)-wysokość danego czworościanu
\(V\)-objętość czworościanu
\(V= \frac{1}{3}P_{p}H\)
\(V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}\)
\(\frac{1}{3}P_{p}H =\frac{1}{3}P_{p}h_{1}+\frac{1}{3}P_{p}h_{2} +\frac{1}{3}P_{p}h_{3}+\frac{1}{3}P_{p}h_{4}\)
\(H=h_{1}+h_{2}+h_{3}+h_{4}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
a - długość krawędzi czworościanu
H - długość wysokości czworościanu
\(h_1,h_2,h_3,h_4\ \\)- odległości punktu P od ścian czworościnu
\(\begin{cases}V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H \\ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_1+ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_2+ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_3+ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_4 \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \
\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot (h_1+h_2+h_3+h_4)\ \ \ \Rightarrow \ \ H=h_1+h_2+h_3+h_4\)
H - długość wysokości czworościanu
\(h_1,h_2,h_3,h_4\ \\)- odległości punktu P od ścian czworościnu
\(\begin{cases}V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H \\ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_1+ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_2+ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_3+ \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot h_4 \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \
\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot H= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} \cdot (h_1+h_2+h_3+h_4)\ \ \ \Rightarrow \ \ H=h_1+h_2+h_3+h_4\)