kąt dwuścienny w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kąt dwuścienny w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym
Jaką miarę ma kąt dwuścienny pomiędzy ścianami bocznymi w każdym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym?
Musi mieć miarę większą od \(60^o\), a mniejszą od \(180^o\).
Kat ten zależy, oczywiście, n.p. od długości krawędzi bocznej, nie można więc podać miary konkretnej, tylko warunek, jaki musi spełniać. Spróbuję to udowodnić:
Oznaczyłam: a- krawędź podstawy, b- krawędź boczna. \(\alpha\)- kąt między krawędzią podstawy a krawędzią boczną ( na ścianie bocznej). Na ścianie bocznej:
\(\frac{\frac{a}{2}}{b}=cos\alpha\\b=\frac{a}{2cos\alpha}\)
Żeby b mogło być krawędzią boczną ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, musi spełniać również warunek, że jest dłuższa niż R- promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a, czyli
\(b>\frac{a\sqrt{3}}{3}\\\frac{a}{2cos\alpha}>\frac{a\sqrt{3}}{3}\\\frac{1}{2cos\alpha}>\frac{\sqrt{3}}{3}\\cos\alpha<\frac{\sqrt{3}}{2}\\30^o<\alpha<90^o\).
Obliczę teraz wysokość ściany bocznej (h), poprowadzoną na krawędź boczną.
\(\frac{h}{a}=sin\alpha\\h=a\ sin\alpha\)
Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi w ostrosłupie to kąt między wysokościami ścian bocznych poprowadzonymi do krawędzi bocznych. Kąt ten oznaczyłam: \(\beta\).
Mamy tu trójkąt równoramienny, w którym ramiona o długości h tworzą kąt [tze]\beta[/tex], a podstawa ma długość a. Kąt przy podstawie tego trójkąta ma miarę:
\(\frac{180^o-\beta}{2}=90^o-\frac{\beta}{2}\)
Z twierdzenia sinusów dla tego trójkąta:
\(\frac{a}{sin\beta}=\frac{b}{sin(90^o-\frac{\beta}{2})}\\\frac{a}{sin\beta}=\frac{a\ sin\alpha}{cos(\frac{\beta}{2})}\\\frac{cos(\frac{\beta}{2})}{sin\beta}=sin\alpha\\\frac{cos(\frac{\beta}{2})}{2sin(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})}=sin\alpha\\sin(\frac{\beta}{2})=\frac{1}{2sin\alpha}\)
\(30^o<\alpha<90^o \Leftrightarrow \frac{1}{2}<sin\alpha<1 \Leftrightarrow 1<2sin\alpha<2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}<\frac{1}{2sin\alpha}<1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}<sin(\frac{\beta}{2})<1 \Leftrightarrow 30^o<\frac{\beta}{2}<90^o \Leftrightarrow 60^o<\beta<180^o\)
Kat ten zależy, oczywiście, n.p. od długości krawędzi bocznej, nie można więc podać miary konkretnej, tylko warunek, jaki musi spełniać. Spróbuję to udowodnić:
Oznaczyłam: a- krawędź podstawy, b- krawędź boczna. \(\alpha\)- kąt między krawędzią podstawy a krawędzią boczną ( na ścianie bocznej). Na ścianie bocznej:
\(\frac{\frac{a}{2}}{b}=cos\alpha\\b=\frac{a}{2cos\alpha}\)
Żeby b mogło być krawędzią boczną ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, musi spełniać również warunek, że jest dłuższa niż R- promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku a, czyli
\(b>\frac{a\sqrt{3}}{3}\\\frac{a}{2cos\alpha}>\frac{a\sqrt{3}}{3}\\\frac{1}{2cos\alpha}>\frac{\sqrt{3}}{3}\\cos\alpha<\frac{\sqrt{3}}{2}\\30^o<\alpha<90^o\).
Obliczę teraz wysokość ściany bocznej (h), poprowadzoną na krawędź boczną.
\(\frac{h}{a}=sin\alpha\\h=a\ sin\alpha\)
Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi w ostrosłupie to kąt między wysokościami ścian bocznych poprowadzonymi do krawędzi bocznych. Kąt ten oznaczyłam: \(\beta\).
Mamy tu trójkąt równoramienny, w którym ramiona o długości h tworzą kąt [tze]\beta[/tex], a podstawa ma długość a. Kąt przy podstawie tego trójkąta ma miarę:
\(\frac{180^o-\beta}{2}=90^o-\frac{\beta}{2}\)
Z twierdzenia sinusów dla tego trójkąta:
\(\frac{a}{sin\beta}=\frac{b}{sin(90^o-\frac{\beta}{2})}\\\frac{a}{sin\beta}=\frac{a\ sin\alpha}{cos(\frac{\beta}{2})}\\\frac{cos(\frac{\beta}{2})}{sin\beta}=sin\alpha\\\frac{cos(\frac{\beta}{2})}{2sin(\frac{\beta}{2})cos(\frac{\beta}{2})}=sin\alpha\\sin(\frac{\beta}{2})=\frac{1}{2sin\alpha}\)
\(30^o<\alpha<90^o \Leftrightarrow \frac{1}{2}<sin\alpha<1 \Leftrightarrow 1<2sin\alpha<2 \Leftrightarrow \frac{1}{2}<\frac{1}{2sin\alpha}<1 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}<sin(\frac{\beta}{2})<1 \Leftrightarrow 30^o<\frac{\beta}{2}<90^o \Leftrightarrow 60^o<\beta<180^o\)