stosunek objętości kuli do objętości stożka
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
wieczorek91
- Rozkręcam się
- Posty: 53
- Rejestracja: 23 sty 2010, 15:23
stosunek objętości kuli do objętości stożka
Promień kuli wpisanej w stożek jest cztery razy mniejszy od wysokości tego stożka. Oblicz stosunek objętości kuli do objętości stożka.
W przekroju osiowym mamy tu trójkąt równoramienny i wpisane w ten trójkąt koło. Podstawa trójkąta to średnica podstawy stożka, a wysokość trójkąta to wysokość stożka. Koło jest kołem wielkim kuli, czyli jego promień to promień kuli. Narysuj promienie koła poprowadzone do punktów styczności.
Ja nazwałam trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa. Środek koła - o.
Punkty styczności - do boku AB - D, do boku BC- E, do boku AC- F.
Oznaczyłam: R- promień kuli (promień koła na rysunku), r- promień podstawy stożka (odcinki AD, DB), H- wysokość stożka (CD)
Wiemy, że H=4R.
Z równości odcinków stycznych mamy: r=|DB|=|AD|=|AF|=|EB|
|OC|=H-R=3R
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta COE:
\(R^2+|CE|^2=(3R)^2\\|CE|^2=8R^2\\|CE|=2\sqrt{2}R\)
z twierdzenia Pitagorasa dla trójkata CDB:
\(|CD|^2+|DB|^2=|BC|^2\\r^2+(4R)^2=(r+2\sqrt{2}R)^2\\r^2+16R^2=r^2+8R^2+4\sqrt{2}rR\\4\sqrt{2}rR=8R^2\\4\sqrt{2}r=8R\\r=\sqrt{2}R\)
Stosunek objętości brył
\(\frac{V_k}{V_s}=\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot\ R^3}{\frac{1}{3}\pi\ r^2H}\\\frac{V_k}{V_s}=\frac{4R^3}{r^2H}=\frac{4R^3}{2R^2\cdot4R}=\frac{4R^3}{8R^3}=\frac{1}{2}\)
Ja nazwałam trójkąt ABC, gdzie AB to podstawa. Środek koła - o.
Punkty styczności - do boku AB - D, do boku BC- E, do boku AC- F.
Oznaczyłam: R- promień kuli (promień koła na rysunku), r- promień podstawy stożka (odcinki AD, DB), H- wysokość stożka (CD)
Wiemy, że H=4R.
Z równości odcinków stycznych mamy: r=|DB|=|AD|=|AF|=|EB|
|OC|=H-R=3R
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta COE:
\(R^2+|CE|^2=(3R)^2\\|CE|^2=8R^2\\|CE|=2\sqrt{2}R\)
z twierdzenia Pitagorasa dla trójkata CDB:
\(|CD|^2+|DB|^2=|BC|^2\\r^2+(4R)^2=(r+2\sqrt{2}R)^2\\r^2+16R^2=r^2+8R^2+4\sqrt{2}rR\\4\sqrt{2}rR=8R^2\\4\sqrt{2}r=8R\\r=\sqrt{2}R\)
Stosunek objętości brył
\(\frac{V_k}{V_s}=\frac{\frac{4}{3}\pi\cdot\ R^3}{\frac{1}{3}\pi\ r^2H}\\\frac{V_k}{V_s}=\frac{4R^3}{r^2H}=\frac{4R^3}{2R^2\cdot4R}=\frac{4R^3}{8R^3}=\frac{1}{2}\)