Ostrosłup - przekrój

[kanapa21]

Wysokość ostrosłupa ma długość H. W jakiej odległości od wierzchołka ostrosłupa znajduje się przekrój równoległy do płaszczyzny podstawy, który dzieli ostrosłup na bryły o różnych objętościach?

[anka]

\(H\)- wysokość ostrosłupa
\(x\) - odległość płaszczyzny od wierzchołka (wysokość 'górnego' ostrosłupa)

Ostrosłup 'górny' jest podobny do danego ostrosłupa w skali \(\frac{x}{H}\)
Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa

Wyznaczam pole podstawy ostrosłupa górnego (o wysokości x)
\(\frac{P_x}{P_p} =( \frac{x}{H} )^2 \Rightarrow P_x= \frac{x^2P_p}{H^2}\)

Wyznaczam objętość ostrosłupa ściętego
\(V_s= \frac{1}{3}V- \frac{1}{3} V_x\)
\(V_s= \frac{1}{3} (P_pH-P_xx)\)
\(V_s= \frac{1}{3} (P_pH-\frac{x^2P_p}{H^2}x)\)
\(V_s= \frac{1}{3} P_p(H-\frac{x^3}{H^2})\)

Wyznaczam H, dla którego objętości brył będą równe
\(V_x=V_s\)
\(\frac{1}{3} \frac{x^2P_p}{H^2}x=\frac{1}{3} P_p(H-\frac{x^3}{H^2})\)
\(\frac{x^3}{H^2} =H-\frac{x^3}{H^2}\)
\(x^3=H^3-x^3\)
\(H^3=2x^3\)
\(x= \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} H\)

Przekrój powinien być umieszczony w odległości \(x \neq \frac{ \sqrt[3]{4} }{2} H\)

[kanapa21]

dzięki