trójkąt równoramienny o podstawie a i kącie przy niej \(\alpha\) jest podstawą ostrosłupa, w którym krawedzie boczne tworzą z jego wysokością również kąt \(\alpha\)
a) oblicz objetość ostrosłupa
b) Dla \(\alpha\)=60 wyznacz cosinus kąta \(\beta\) nachylenia płaszczyzny ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
trójkąt rónoramienny o podstawie ...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
marcin2447
- Często tu bywam
- Posty: 153
- Rejestracja: 12 cze 2009, 13:08
- Podziękowania: 35 razy
a)
b- ramię trójkąta równoramiennego
H- wysokość ostrosłupa
R- promień okręgu opisanego na trójkącie podstawy
\(\frac{\frac{a}{2}}{b}=cos\alpha\\b=\frac{a}{2cos\alpha}\)
Jeśli kąty krawędzi bocznych z wysokością ostrosłupa są równe, to trójkąty prostokątne, jakie wysokość wyznacza z tymi krawędziami są przystające, czyli wszystkie krawędzie boczne są równe, a spodek wysokości ostrosłupa jest w punkcie równo odległym od wierzchołków podstawy, czyli jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.
skorzystam z różnych wzorów na pole trójkąta, żeby obliczyć R.
\(P=\frac{1}{2}absin\alpha=\frac{abc}{4R}\), gdzie a,b,c- boki trójkąta., R- promień okręgu opisanego na trójkącie, \(\alpha\)- kąt między bokami a,b
\(\frac{absin\alpha}{2}=\frac{ab^2}{4R}\\\frac{b}{2R}=sin\alpha\\R=\frac{b}{2sin\alpha}=\frac{a}{4sin\alpha\ cos\alpha}\)
\(\frac{H}{R}=ctg\alpha\\H=Rctg\alpha\\H=\frac{a}{4sin\alpha\ cos\alpha}\cdot\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\\H=\frac{a}{4sin^2\alpha}\)
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a}{4sin^2\alpha}\\V=\frac{a^3}{12sin^2\alpha}\)
b- ramię trójkąta równoramiennego
H- wysokość ostrosłupa
R- promień okręgu opisanego na trójkącie podstawy
\(\frac{\frac{a}{2}}{b}=cos\alpha\\b=\frac{a}{2cos\alpha}\)
Jeśli kąty krawędzi bocznych z wysokością ostrosłupa są równe, to trójkąty prostokątne, jakie wysokość wyznacza z tymi krawędziami są przystające, czyli wszystkie krawędzie boczne są równe, a spodek wysokości ostrosłupa jest w punkcie równo odległym od wierzchołków podstawy, czyli jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.
skorzystam z różnych wzorów na pole trójkąta, żeby obliczyć R.
\(P=\frac{1}{2}absin\alpha=\frac{abc}{4R}\), gdzie a,b,c- boki trójkąta., R- promień okręgu opisanego na trójkącie, \(\alpha\)- kąt między bokami a,b
\(\frac{absin\alpha}{2}=\frac{ab^2}{4R}\\\frac{b}{2R}=sin\alpha\\R=\frac{b}{2sin\alpha}=\frac{a}{4sin\alpha\ cos\alpha}\)
\(\frac{H}{R}=ctg\alpha\\H=Rctg\alpha\\H=\frac{a}{4sin\alpha\ cos\alpha}\cdot\frac{cos\alpha}{sin\alpha}\\H=\frac{a}{4sin^2\alpha}\)
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a}{4sin^2\alpha}\\V=\frac{a^3}{12sin^2\alpha}\)
b) Jeżeli \(\alpha=60^o\), to ostrosłup jest prawidłowy. b=a.
\(H=\frac{a}{4\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\\H=\frac{a}{3}\)
r- promień okręgu wpisanego w podstawę \(r=\frac{1}{2}R\)
\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\\frac{H}{r}=tg\beta\\tg\beta=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\frac{sin\beta}{cos\beta}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{3}}cos\beta\\(\frac{2}{\sqrt{3}}cos\beta)^2+cos^2\beta=1\\\frac{7}{3}cos^2\beta=1\\\beta \in (0^o,90^o)\\cos\beta=\sqrt{\frac{3}{7}}\\cos\beta=\frac{\sqrt{21}}{7}\)
\(H=\frac{a}{4\cdot(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}\\H=\frac{a}{3}\)
r- promień okręgu wpisanego w podstawę \(r=\frac{1}{2}R\)
\(R=\frac{a\sqrt{3}}{3}\\r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\\frac{H}{r}=tg\beta\\tg\beta=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\frac{sin\beta}{cos\beta}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\sin\beta=\frac{2}{\sqrt{3}}cos\beta\\(\frac{2}{\sqrt{3}}cos\beta)^2+cos^2\beta=1\\\frac{7}{3}cos^2\beta=1\\\beta \in (0^o,90^o)\\cos\beta=\sqrt{\frac{3}{7}}\\cos\beta=\frac{\sqrt{21}}{7}\)