a)powierzchnia boczna walca po roziwnięciu jest prostokątem o bokach dlugości 10cm i 50cm. pod jakim kątem przekątna przekroju osiowego jest nachylona do podstawy walca?
b)przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do podstawy pod kontem 60 stopni. jaki jest stosunek długości boków prostokąta, który mozna otrzymać po rozwinięciu powierzchni bocznej tego walca.
walec
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Szimi10
- Często tu bywam
- Posty: 175
- Rejestracja: 16 kwie 2009, 16:51
- Otrzymane podziękowania: 38 razy
a) Nie jestem pewien które to wysokość walca a które długość krawędzi podstawy (bo prostokąt będący rozwinięciem powierzchni bocznej walca zawiera właśnie wysokość walca oraz obwód koła w podstawie). Przyjmijmy zatem, że walec ma wysokość \(h=10cm\) oraz jego długość krawędzi (obwód) podstawy jest równa \(a= 50cm\).
Będzimy liczyć długość średnicy koła w podstawie. Wiemy, że jego obwód wynosi \(50cm\) (bo to długość dolnej krawędźi prostokąta, tego tworzącego powierzchnię boczną). Wspomnę jeszcze, że nasz walec cały czas wyobrażamy sobie "stojący". Czyli tak, że nie możemy nim wałkować
.
Liczymy dwa promienie koła (średnicę) ze wzoru na obwód koła.
\(O_k=2 \pi r\)
\(50 = 2 \pi r\)
\(2r=\frac{50}{\pi}\)
Przekrój osiowy jest prostokątem o bokach długości \(b= \frac{50}{\pi}\) (średnica koła w podstawie walca) oraz \(h= 10\)(wysokości walca).
Przekątna przekroju osiowego to nic innego jak przekątna naszego prostokąta. Mamy więc trójkąt prostokątny, kąt przy podstawie policzymy z \(tg \alpha\)(przypominam, tangens konta alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa do przyprostokątej leżącej przy kącie alfa, czyli wysokość (\(h\)) do średnicy (\(b\))).
\(tg\alpha = \frac{h}{b}\)
\(tg \alpha = \frac{10}{\frac{50}{\pi}}\)
\(tg \alpha = \frac{\pi}{5}\)
\(\alpha = arctg\frac{\pi}{5}.\)
Można odczytać ewentualnie z tablic:
\(tg \alpha = \frac{\pi}{5} \approx 0,628\)
\(\alpha \approx 32^{\circ}\)
b) Wyobrażamy sobie walec (oczywiśście w podstawie ma okrąg), przekrój osiowy będzie prostokątem który będzie miał boki długości równe dwóm promieniom (\(2r=b\)) w podstawie, oraz wysokości (\(h\)) na bokach. Wiemy, że przekątna tego przekroju (prostokąta) pada na podstawe pod kątem \(60^{\circ}\). My będziemy chcieli policzyć obwód okręgu w podstawie, bo to będzie jeden z boków prostokąta będącego rozwinięciem powierzchni bocznej walca (oznaczymy go \(a\)), (drugim bokiem będzie wysokość walca (\(h\))), wcześniej jednak trzeba będzie policzyć średnię okęgu (\(b=2r\)) wyrażając ją za pomocą \(h\)(aby później \(h\) nam się skróciło przez co otrzymamy stosunek długości boków, liczbę).
\(tg\alpha = \frac{h}{b}\)
\(tg60^{\circ}=\frac{h}{b}\)
\(\sqrt{ 3} = \frac{h}{b}\)
\(b=\frac{\sqrt{ 3 }h}{3}\)
Mamy średnicę, liczymy obwód:
\(O=2r \pi \\ O=\frac{\sqrt{3} h \pi}{3}=a\)
Stosunek długości boków prostokąta wynosi: \(\frac{h}{a}=\frac{h}{\frac{\sqrt{3} h \pi}{3}}=\frac{3}{\pi \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\pi}\).
Pozdrawiam
Szymon.
Będzimy liczyć długość średnicy koła w podstawie. Wiemy, że jego obwód wynosi \(50cm\) (bo to długość dolnej krawędźi prostokąta, tego tworzącego powierzchnię boczną). Wspomnę jeszcze, że nasz walec cały czas wyobrażamy sobie "stojący". Czyli tak, że nie możemy nim wałkować
.Liczymy dwa promienie koła (średnicę) ze wzoru na obwód koła.
\(O_k=2 \pi r\)
\(50 = 2 \pi r\)
\(2r=\frac{50}{\pi}\)
Przekrój osiowy jest prostokątem o bokach długości \(b= \frac{50}{\pi}\) (średnica koła w podstawie walca) oraz \(h= 10\)(wysokości walca).
Przekątna przekroju osiowego to nic innego jak przekątna naszego prostokąta. Mamy więc trójkąt prostokątny, kąt przy podstawie policzymy z \(tg \alpha\)(przypominam, tangens konta alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta alfa do przyprostokątej leżącej przy kącie alfa, czyli wysokość (\(h\)) do średnicy (\(b\))).
\(tg\alpha = \frac{h}{b}\)
\(tg \alpha = \frac{10}{\frac{50}{\pi}}\)
\(tg \alpha = \frac{\pi}{5}\)
\(\alpha = arctg\frac{\pi}{5}.\)
Można odczytać ewentualnie z tablic:
\(tg \alpha = \frac{\pi}{5} \approx 0,628\)
\(\alpha \approx 32^{\circ}\)
b) Wyobrażamy sobie walec (oczywiśście w podstawie ma okrąg), przekrój osiowy będzie prostokątem który będzie miał boki długości równe dwóm promieniom (\(2r=b\)) w podstawie, oraz wysokości (\(h\)) na bokach. Wiemy, że przekątna tego przekroju (prostokąta) pada na podstawe pod kątem \(60^{\circ}\). My będziemy chcieli policzyć obwód okręgu w podstawie, bo to będzie jeden z boków prostokąta będącego rozwinięciem powierzchni bocznej walca (oznaczymy go \(a\)), (drugim bokiem będzie wysokość walca (\(h\))), wcześniej jednak trzeba będzie policzyć średnię okęgu (\(b=2r\)) wyrażając ją za pomocą \(h\)(aby później \(h\) nam się skróciło przez co otrzymamy stosunek długości boków, liczbę).
\(tg\alpha = \frac{h}{b}\)
\(tg60^{\circ}=\frac{h}{b}\)
\(\sqrt{ 3} = \frac{h}{b}\)
\(b=\frac{\sqrt{ 3 }h}{3}\)
Mamy średnicę, liczymy obwód:
\(O=2r \pi \\ O=\frac{\sqrt{3} h \pi}{3}=a\)
Stosunek długości boków prostokąta wynosi: \(\frac{h}{a}=\frac{h}{\frac{\sqrt{3} h \pi}{3}}=\frac{3}{\pi \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\pi}\).
Pozdrawiam
Szymon.