ostrosłup prawidłowy czworokątny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
widelec123
- Czasem tu bywam
- Posty: 100
- Rejestracja: 23 sty 2010, 14:11
ostrosłup prawidłowy czworokątny
w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy ma miarę alfa. Odległość środka podstawy tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej jest równa d. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
Trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to H- wysokość ostrosłupa, R- promień okręgu opisanego na podstawie (połowa przekątnej kwadratu), a przeciwprostokątna, b, to krawędź boczna to trójkąt, w którym kąt ostry ma miarę daną \(\alpha\), d to wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną. Oznaczyłam: a- krawędź podstawy, \(h_b\)- wysokość ściany bocznej. Wówczas \(R=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{d}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=sin\alpha\\a=\frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha}\)
\(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{b}=cos\alpha\\b=\frac{a\sqrt{2}}{2cos\alpha}\\b=\frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2cos\alpha}=\frac{d}{sin\alpha\ cos\alpha}\)
\(a^2+h_b^2=b^2\\\frac{2d^2}{sin^2\alpha}+h_b^2=\frac{d^2}{sin^2\alpha\ cos^2\alpha}\\h_b^2=\frac{d^2}{sin^2\alpha\ cos^2\alpha}-\frac{2d^2}{sin^2\alpha}\\h_b^2=\frac{d^2(1-cos^2\alpha)}{sin^2\alpha\ cos^2\alpha}\\h_b^2=\frac{d^2}{cos^2\alpha}\\h_b=\frac{d}{cos\alpha}\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=4\cdot\frac{1}{2}ah_b\\P_b=2\cdot\frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha}\cdot\frac{d}{cos\alpha}\\P_b=\frac{2\sqrt{2}d^2}{sin\alpha\ cos\alpha}=\frac{4\sqrt{2}}{sin2\alpha}\)
\(\frac{d}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}=sin\alpha\\a=\frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha}\)
\(\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{b}=cos\alpha\\b=\frac{a\sqrt{2}}{2cos\alpha}\\b=\frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2cos\alpha}=\frac{d}{sin\alpha\ cos\alpha}\)
\(a^2+h_b^2=b^2\\\frac{2d^2}{sin^2\alpha}+h_b^2=\frac{d^2}{sin^2\alpha\ cos^2\alpha}\\h_b^2=\frac{d^2}{sin^2\alpha\ cos^2\alpha}-\frac{2d^2}{sin^2\alpha}\\h_b^2=\frac{d^2(1-cos^2\alpha)}{sin^2\alpha\ cos^2\alpha}\\h_b^2=\frac{d^2}{cos^2\alpha}\\h_b=\frac{d}{cos\alpha}\)
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=4\cdot\frac{1}{2}ah_b\\P_b=2\cdot\frac{d\sqrt{2}}{sin\alpha}\cdot\frac{d}{cos\alpha}\\P_b=\frac{2\sqrt{2}d^2}{sin\alpha\ cos\alpha}=\frac{4\sqrt{2}}{sin2\alpha}\)