Prostopadłośćian największa wartość sumy krawędzi - trudne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
tometomek91
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 133
Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
Podziękowania: 42 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Prostopadłośćian największa wartość sumy krawędzi - trudne

Post autor: tometomek91 » 07 lut 2010, 15:47

Przekątna prostopadłościanu o podstawie kwadratowej ma długosć c. Jaką największą wartość może osiągnąć suma wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu?

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1113 razy
Płeć:

Post autor: anka » 07 lut 2010, 16:19

Pochodne były?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 07 lut 2010, 16:31

H- wysokość prostopadłościanu, a - krawędź podstawy

\(c^2=2a^2+H^2\\a\sqrt{2}<c \wedge H<c\\H^2=c^2-2a^2\\H=\sqrt{c^2-2a^2}\)

S(a)- suma długości krawędzi (a zależności od wartości a)
\(S(a)=8a+4\sqrt{c^2-2a^2};\ a \in (0;\ \frac{\sqrt{2}}{2}c)\\S'(a)=8+4\cdot\frac{-2a}{2\sqrt{c^2-2a^2}}=8-\frac{4a}{\sqrt{c^2-2a^2}}=\frac{8\sqrt{c^2-2a^2}-4a}{\sqrt{c^2-2a^2}}\\S'(a)=0 \Leftrightarrow 8\sqrt{c^2-2a^2}=4a \Leftrightarrow a=2\sqrt{c^2-2a^2} \Leftrightarrow a^2=4c^2-8a^2 \Leftrightarrow 9a^2=4c^2 \Leftrightarrow a=\frac{2}{3}c \in D_S\\S'(a)<0 \Leftrightarrow a>\frac{2}{3}c\\S'(a)>0 \Leftrightarrow a<\frac{2}{3}c\)
W punkcie \(a=\frac{2}{3}c\) funkcja S(a) ma maksimum.

Największa wartość funkcji S(a) (maksymalna suma krawędzi):
\(S(\frac{2}{3}c)=8\cdot\frac{2}{3}c+4\cdot\sqrt{c^2-2\cdot\frac{4}{9}c^2}=\frac{16}{3}c+4\cdot\frac{1}{3}c=\frac{20}{3}c\)

tometomek91
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 133
Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
Podziękowania: 42 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy

Post autor: tometomek91 » 07 lut 2010, 16:32

Bardzo dziękuję, tak pochodne znam ;)