płaszczyzny i proste w przestrzeni

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
roza15
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 20
Rejestracja: 26 kwie 2009, 10:24

płaszczyzny i proste w przestrzeni

Post autor: roza15 » 04 lut 2010, 17:13

Punkty A i B leżą na płaszczyźnie pi. Odcinki AC i BD są prostopadłe do tej płaszczyzny oraz IACI=a, IBDI=b, b>a. Uzasadnij że proste AD i BC przecinają się oraz wyznacz odległość punktu ich przecięcia od płaszczyzny pi. ODP. d=ab/a+b lub d=ab/b-a.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 05 lut 2010, 21:28

Jeżeli punkty A i B leżą na płaszczyźnie \(\pi\) i odcinki AC i BD są prostopadłe do tej płaszczyzny, to odcinki AC i BD leżą w jednej płaszczyźnie i są do siebie równoległe.

Rozpatrzyć tu trzeba 2 przypadki:
- I. Wektory \(\vec{AC}\ i\ \vec{BD}\) są zgodnie skierowane, czyli punkty C i D leża po tej samej stronie płaszczyzny. W tym przypadku mamy do czynienia z trapezem prostokątnym ABDC, gdzie AC i BD są podstawami, AB jest wysokością tego trapezu, a punkt P, którego odległość od płaszczyzny \(\pi\) trzeba obliczyć, jest punktem przecięcia przekątnych trapezu.
-II. Wektory są przeciwnie skierowane i punkty C i D leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny. W tym przypadku mamy do czynienia z trapezem ADBC, w którym AB jest wysokością trapezu, punkt P jest punktem przecięcia ramion trapezu.

W obu przypadkach odcinek d- wyznaczający odległość punktu P od płaszczyzny jest równoległy do podstaw o długościach a i b, więc skorzystać można z twierdzenia Talesa. Szukana odległość - d - to odległość punktu P od prostej AB.

I. przypadek
Oznaczyłam S- spodek odległości na prostą AB, czyli |SP|=d. |SA|=x, |SB|=y
\(PS \parallel AC \Rightarrow \frac{a}{d}=\frac{x+y}{y} \Rightarrow d=a\cdot\frac{y}{x+y}\\PS \parallel BD \Rightarrow \frac{b}{d}=\frac{x+y}{x} \Rightarrow d=b\cdot\frac{x}{x+y}\\a\cdot\frac{y}{x+y}=b\cdot\frac{x}{x+y} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{a}{b}\\\frac{a}{d}=\frac{x+y}{y}=1+\frac{x}{y}=1+\frac{a}{b}\\\frac{a}{d}=1+\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{a}{d}=\frac{a+b}{b} \Rightarrow d=\frac{ab}{a+b}\)

II. przypadek

oznaczyłam S- spodek odległości punktu S na prostą AB. |AS|=x, |AB|=y

\(PS \parallel AC \Rightarrow \frac{d}{a}=\frac{x+y}{y} \Rightarrow d=a\cdot\frac{x+y}{y}\\PS \parallel BD \Rightarrow \frac{b}{d}=\frac{y}{x} \Rightarrow d=b\cdot\frac{x}{y}\\a(x+y)=bx\\b=a\cdot\frac{x+y}{x}=a(1+\frac{y}{x})=a(1+\frac{b}{d})\\b=a(1+\frac{b}{d}) \Rightarrow \frac{b}{a}=1+\frac{b}{d} \Rightarrow \frac{b}{d}=\frac{b}{a}-1=\frac{b-a}{a}\\\frac{b}{d}=\frac{b-a}{a} \Rightarrow d=\frac{ab}{b-a}\)