Stereometria - kula/walec/stożek

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
monia151
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 8
Rejestracja: 03 lut 2010, 11:02

Stereometria - kula/walec/stożek

Post autor: monia151 » 03 lut 2010, 12:55

Błagam, pomóżcie mi chociaż z kilkoma z tych zadań, bo stereometria to dla mnie czarna magia, a to są zadania na mój sprawdzian:)

ZAD.1
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5, a przekątna tego graniastosłupa ma długość 9. Ile wynosi jego objętość V ?

ZAD. 2
Prostokąt o bokach 4cm x 8cm zwinięto, tworząc powierzchnię boczną walca. Ile wynosi promie podstawy walca, jeżeli tworząca wynosi 8cm ?

ZAD.3
Krawędź podstawy graniastosłupa prostego o podstawie rombu ma długość 2m, a krawędź boczna 4m. Jaka jest długość wszystkich krawędzi tego graniastosłupa ?

ZAD.4
Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 180cm2. Jaką długość ma krawędź tego sześcianu ?

ZAD.5
Dane są dwa sześciany. Objętośc pierwszego jest osiem razy większa od objętości drugiego, wówczas ile razy pole powierzchni pierwszego sześcianu jest większe od pola powierzchni drugiego szcześcianu?

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 03 lut 2010, 14:28

1.
Narysuj graniastosłup, a w nim przekątną. Tworzy ona raze z wysokością graniastosłupa (H) i przekątną podstawy (d) trójkąt prostokątny. d jest przekątną kwadratu o boku 5cm, więc \(d=5\sqrt{2}cm\).
z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+(5\sqrt{2})^2=9^2\\H^2+50=81\\H^2=31\\H=\sqrt{31}cm\)
Pole podstawy to pole kwadratu, czyli \(P_p=5^2=25cm^2\)
Objętość:
\(V=P_p\cdot\ H\\V=25\cdot\sqrt{31}=25\sqrt{31}cm^3\)

2.
Jeśli bok o długości 8cm jest tworzącą (wysokością walca), to znaczy, że zwinięto bok o długości 4cm i jest on obwodem koła podstawy walca, czyli
\(2\pi\ r=4cm\\r=\frac{4}{2\pi}\\r=\frac{2}{\pi}cm\)

3.
W graniastosłupie czworokątnym jest 8 krawędzi podstaw i 4 krawędzie boczne. Krawędzie podstaw mają jednakowe długości. Krawędzie boczne też. Suma długości wszystkich krawędzi jest więc równa:
\(8\cdot2cm+4\cdot4cm=32cm\)

4.
Powierzchnia sześcianu to 6 jednakowych kwadratów o boku a. Czyli:
\(6a^2=180\\a^2=30\\a=\sqrt{30}cm\)

5.
Każde dwa sześciany to bryły podobne. Stosunek ich objętości to sześcian skali podobieństwa między nimi. k- skala podobieństwa
\(\frac{V_1}{V_2}=8=k^3\\k^3=8\\k=2\).

Stosunek pól powierzchni brył podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, czyli:
\(\frac{P_1}{P_2}=k^2=2^2=4\)

Pole powierzchni pierwszego sześcianu jest więc 4 razy większe niż pole powierzchni drugiego.