krawędź pod. gran. prawidłowego czworokątnego ma dł 4 cm, a krawędź boczna 5. prostopadłościan przecieto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną pod. tak że w przekroju otrzymano trapez którego jedna pod jest dwa razy krótsza od drugiej. oblicz pole tego trapezu

stereometria
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Dolna podstawa tego graniastosłupa to kwadrat, który nazwałam ABCD, górna- to kwadrat \(A_1B_1C_1D_1\).
Płaszczyzna tnąca ten graniastosłup wyznacza trapez ACFE, gdzie AC to przekątna dolnej podstawy, punkt E leży na krawędzi \(A_1D_1\), punkt F leży na krawędzi \(C_1D_1\). wiemy, że |EF| jest równa połowie przekątnej AC, czyli jest równa \(\frac{1}{2}|A_1C_1\). Odcinek EF jest też równoległy do AC. Jest więc równoległy do \(A_1C_1\).
Na górnej podstawie zachodzi więc zależność:
\(\frac{|EF|}{|A_1C_1|}=\frac{|D_1E|}{|D_1A_1|}\), czyli punkt E jest środkiem odcinka \(A_1D_1\). Analogicznie punkt F jest środkiem odcinka \(C_1D_1\).
Przekrojem jest trapez, którego dolna podstawa \(|AC|=4\sqrt{2}cm\) (przekątna kwadratu o boku 4cm), a górna podstawa \(|EF|=2\sqrt{2}cm\).
Ramię AE łączy wierzchołek dolnej podstawy graniastosłupa ze środkiem krawędzi górnej podstawy.
W trójkącie prostokątnym \(AA_1E\) mamy: \(|AA_1|=5cm\), \(|A_1E|=2cm\)
\(|AE|^2=5^2+2^2\\|AE|=\sqrt{29}cm\).
Czyli ramiona trapezu mają długości \(\sqrt{29}cm\).
Jeśli w tym trapezie narysujemy wysokość z końca krótszej podstawy (h), to odcina ona trójkąt prostokątny o przyprostokątnych h i \(\sqrt{2}cm\) i przeciwprostokątnej \(\sqrt{29}cm\)
\(h^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{29})^2\\h^2=27\\h=\sqrt{27}=3\sqrt{3}cm\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\cdot3\sqrt{3}=3\sqrt{2}\cdot3\sqrt{3}=9\sqrt{6}cm^2\)
Płaszczyzna tnąca ten graniastosłup wyznacza trapez ACFE, gdzie AC to przekątna dolnej podstawy, punkt E leży na krawędzi \(A_1D_1\), punkt F leży na krawędzi \(C_1D_1\). wiemy, że |EF| jest równa połowie przekątnej AC, czyli jest równa \(\frac{1}{2}|A_1C_1\). Odcinek EF jest też równoległy do AC. Jest więc równoległy do \(A_1C_1\).
Na górnej podstawie zachodzi więc zależność:
\(\frac{|EF|}{|A_1C_1|}=\frac{|D_1E|}{|D_1A_1|}\), czyli punkt E jest środkiem odcinka \(A_1D_1\). Analogicznie punkt F jest środkiem odcinka \(C_1D_1\).
Przekrojem jest trapez, którego dolna podstawa \(|AC|=4\sqrt{2}cm\) (przekątna kwadratu o boku 4cm), a górna podstawa \(|EF|=2\sqrt{2}cm\).
Ramię AE łączy wierzchołek dolnej podstawy graniastosłupa ze środkiem krawędzi górnej podstawy.
W trójkącie prostokątnym \(AA_1E\) mamy: \(|AA_1|=5cm\), \(|A_1E|=2cm\)
\(|AE|^2=5^2+2^2\\|AE|=\sqrt{29}cm\).
Czyli ramiona trapezu mają długości \(\sqrt{29}cm\).
Jeśli w tym trapezie narysujemy wysokość z końca krótszej podstawy (h), to odcina ona trójkąt prostokątny o przyprostokątnych h i \(\sqrt{2}cm\) i przeciwprostokątnej \(\sqrt{29}cm\)
\(h^2+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{29})^2\\h^2=27\\h=\sqrt{27}=3\sqrt{3}cm\)
Pole trapezu:
\(P=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}\cdot3\sqrt{3}=3\sqrt{2}\cdot3\sqrt{3}=9\sqrt{6}cm^2\)