sześcian wpisany w stożek

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
izimen
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 02 lut 2010, 18:19

sześcian wpisany w stożek

Post autor: izimen » 02 lut 2010, 18:25

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania:
Promień podstawy stożka jest równy 3 a cosinus kąta nachylenia jego tworzącej do podstawy wynosi 1/3 . Oblicz długość krawędzi sześcianu wpisanego w ten stożek. (cztery wierzchołki sześcianu zawarte są w podstawie a kolejne w jego ścianie bocznej)
z góry dziękuję.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 02 lut 2010, 18:41

Na przekroju osiowym stożka, zawierającym przekątną podstawy sześcianu mamy trójkąt równoramienny, w którym ramiona to tworzące stożka (l), a podstawa to średnica podstawy stożka (6). Wysokość tego trójkąta (H) to wysokość stożka. W ten trójkąt wpisany jest prostokąt, którego jeden bok- przekątna podstawy sześcianu (\(a\sqrt{2}\)), zawiera się w podstawie stożka, a pozostałe dwa wierzchołki prostokąta leżą na ramionach. Drugi bok tego prostokąta to krawędź sześcianu.

Z danego cosinusa:
\(\frac{3}{l}=\frac{1}{3}\\l=9\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+3^2=9^2\\H^2=72\\H=6\sqrt{2}\)

Z twierdzenia Talesa:
\(\frac{H}{3}=\frac{H-a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\\\frac{6\sqrt{2}}{3}=\frac{6\sqrt{2}-a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\\2\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}-a\\2a+a=6\sqrt{2}\\3a=6\sqrt{2}\\a=2\sqrt{2}\)

marcin77
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 387
Rejestracja: 12 gru 2009, 15:45
Lokalizacja: gdzieś nad Bałtykiem
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 36 razy

sześcian wpisany w stożek

Post autor: marcin77 » 02 lut 2010, 18:53

r- promień podstawy stożka
a - krawędź sześcianu
l- tworząca stożka
\(cos \alpha = \frac{1}{3}= \frac{r}{l}
sin \alpha = \frac{2 \sqrt{2} }{3}
tg \alpha = \frac{sin \alpha }{cos \alpha } =2 \sqrt{2}
r=3
tg\alpha = \frac{a}{ \frac{2r-a}{2} }= \frac{a}{ \frac{6-a}{2} }= \frac{2a}{6-a}
2 \sqrt{2} =\frac{2a}{6-a}
12 \sqrt{2}-2a \sqrt{2}=2a
12 \sqrt{2}=2a(\sqrt{2}+1)
a= \frac{6 \sqrt{2} }{\sqrt{2}+1}=\frac{6 \sqrt{2} }{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=6(2- \sqrt{2})\)