zadanie 1
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne o długościach 9√2 sa do siebie prostopadłe. Oblicz objętość tego ostrosłupa
zadanie 2
Krawędź podstawy w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ma długość 8 cm a kąt między płaszczyznami w których zawierają się przeciwległe ściany boczne ma miarę 70⁰ Oblicz
a) Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa
b) objętość ostrosłupa
Wyniki zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku
zadanie 3
Podstawą ostrosłupa czworokątnego jest kwadrat o boku a. Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy ostrosłupa a dwie są nachylone do płaszczyzny podstawy pod katem 45⁰ Oblicz cosinus kata α nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
zadanie 4
W sześcianie o krawędzi długości a połączono wszystkie wierzchołki dolnej podstawy z jednym z wierzchołków podstawy górnej Sporządź odpowiedni rysunek i oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego w ten sposób ostrosłupa. Z ilu takich ostrosłupów można złożyć sześcian?
ostrosłupy
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Przeciwległe krawędzie boczne tego ostrosłupa wraz z przekątną podstawy (kwadratu) tworzą równoramienny trójkąt prostokątny. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa.
a- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
\((a\sqrt{2})^2=(9\sqrt{2})^2+(9\sqrt{2})^2\\2a^2=324\\a^2=162\\a=9\sqrt{2}\)
\(\frac{H}{9\sqrt{2}}=sin45^o\\H=9\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\H=9\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot162\cdot9\\V=486\)
Przeciwległe krawędzie boczne tego ostrosłupa wraz z przekątną podstawy (kwadratu) tworzą równoramienny trójkąt prostokątny. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa.
a- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
\((a\sqrt{2})^2=(9\sqrt{2})^2+(9\sqrt{2})^2\\2a^2=324\\a^2=162\\a=9\sqrt{2}\)
\(\frac{H}{9\sqrt{2}}=sin45^o\\H=9\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\H=9\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot162\cdot9\\V=486\)
2.
Kat między przeciwległymi ścianami bocznymi tego ostrosłupa to kąt między wysokościami tych ścian bocznych. Wysokości te \(h_b\) tworzą z odcinkiem łączącym środki przeciwległych krawędzi podstawy (odcinej\k ten jest równy krawędzi podstawy - a) trójkąt równoramienny. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa (H). Wysokość ta dzieli kąt między ramionami na połowy.
\(\frac{H}{\frac{1}{2}a}=ctg35^o\\H=4\cdot\ ctg35^o\)
\(\frac{4}{h_b}=sin35^o\\h_b=\frac{4}{sin35^o}\)
Pole powierzchni:
\(P_c=a^2+4\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ h_b\\P_c=8^2+2\cdot8\cdot\frac{4}{sin35^o}=64+\frac{64}{sin35^o}\\P_c\approx64+\frac{64}{0,5736}\\V\approx64+111,58=175,58\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot4ctg35^o=\frac{256}{3}ctg35^o\approx69,91\)
Kat między przeciwległymi ścianami bocznymi tego ostrosłupa to kąt między wysokościami tych ścian bocznych. Wysokości te \(h_b\) tworzą z odcinkiem łączącym środki przeciwległych krawędzi podstawy (odcinej\k ten jest równy krawędzi podstawy - a) trójkąt równoramienny. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa (H). Wysokość ta dzieli kąt między ramionami na połowy.
\(\frac{H}{\frac{1}{2}a}=ctg35^o\\H=4\cdot\ ctg35^o\)
\(\frac{4}{h_b}=sin35^o\\h_b=\frac{4}{sin35^o}\)
Pole powierzchni:
\(P_c=a^2+4\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ h_b\\P_c=8^2+2\cdot8\cdot\frac{4}{sin35^o}=64+\frac{64}{sin35^o}\\P_c\approx64+\frac{64}{0,5736}\\V\approx64+111,58=175,58\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot4ctg35^o=\frac{256}{3}ctg35^o\approx69,91\)
3.
Ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi. Kąt nachylenia krótszej krawędzi bocznej do podstawy to kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy. Jeśli ten kąt ma miarę \(45^o\), to ściany boczne z tymi krawędziami to trójkąty prostokątne równoramienne, czyli wysokość tego ostrosłupa ma długość równą a. Kąt nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do podstawy to kąt między tą krawędzią a przekątną podstawy (o długości \(a\sqrt{2}\)). Krawędź ta z przekątną podstawy i krawędzią prostopadłą do podstawy (o długości a) tworzy trójkąt prostokątny. Oznaczyłam najdłuższą krawędź boczną k.
\(k^2=a^2+(a\sqrt{2})^2\\k^2=3a^2\\k=a\sqrt{3}\)
\(cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\cos\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
Ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami prostokątnymi. Kąt nachylenia krótszej krawędzi bocznej do podstawy to kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy. Jeśli ten kąt ma miarę \(45^o\), to ściany boczne z tymi krawędziami to trójkąty prostokątne równoramienne, czyli wysokość tego ostrosłupa ma długość równą a. Kąt nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do podstawy to kąt między tą krawędzią a przekątną podstawy (o długości \(a\sqrt{2}\)). Krawędź ta z przekątną podstawy i krawędzią prostopadłą do podstawy (o długości a) tworzy trójkąt prostokątny. Oznaczyłam najdłuższą krawędź boczną k.
\(k^2=a^2+(a\sqrt{2})^2\\k^2=3a^2\\k=a\sqrt{3}\)
\(cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\cos\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}\)
-
marcin77
- Stały bywalec
- Posty: 387
- Rejestracja: 12 gru 2009, 14:45
- Lokalizacja: gdzieś nad Bałtykiem
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 36 razy
zadanie 4
W sześcianie o krawędzi długości a połączono wszystkie wierzchołki dolnej podstawy z jednym z wierzchołków podstawy górnej Sporządź odpowiedni rysunek i oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego w ten sposób ostrosłupa. Z ilu takich ostrosłupów można złożyć sześcian?
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku "a", dwie ściany boczne to trójkąty prostokątne równoramienne o boku "a", dwie ściany boczne to trójkąty o bokach \(a\), \(a \sqrt{2}\), \(a \sqrt{3}\)
\(a^2=(a \sqrt{2})^2+(a \sqrt{3})^2-2a \sqrt{2}a \sqrt{3}cos \alpha
cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3}
sin \alpha = \sqrt{1- \frac{6}{9} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}
P_c=a^2+2( \frac{a^2}{2} )+2 \frac{a \sqrt{2}a \sqrt{3}sin \alpha}{2}=a^2(2+ \sqrt{2})\)
W sześcianie o krawędzi długości a połączono wszystkie wierzchołki dolnej podstawy z jednym z wierzchołków podstawy górnej Sporządź odpowiedni rysunek i oblicz pole powierzchni całkowitej otrzymanego w ten sposób ostrosłupa. Z ilu takich ostrosłupów można złożyć sześcian?
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku "a", dwie ściany boczne to trójkąty prostokątne równoramienne o boku "a", dwie ściany boczne to trójkąty o bokach \(a\), \(a \sqrt{2}\), \(a \sqrt{3}\)
\(a^2=(a \sqrt{2})^2+(a \sqrt{3})^2-2a \sqrt{2}a \sqrt{3}cos \alpha
cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3}
sin \alpha = \sqrt{1- \frac{6}{9} }= \frac{ \sqrt{3} }{3}
P_c=a^2+2( \frac{a^2}{2} )+2 \frac{a \sqrt{2}a \sqrt{3}sin \alpha}{2}=a^2(2+ \sqrt{2})\)
4.
Ostrosłup otrzymany w ten sposób to ostrosłup taki, jak opisany w poprzednim zadaniu- ostrosłup o podstawie kwadratu, w którym jedna z krawędzi bocznych, o długości równej krawędzi podstawy, jest prostopadła do podstawy.
Dwie ściany to trójkąty prostokątne równoramienne. Dwa pozostałe to trójkąty prostokątne, w których jedna przyprostokątna ma długość równą krawędzi podstawy, a druga o długości równej przekątnej kwadratu (\(a\sqrt{2}\)
\(P_c=a^2+2\cdot\frac{1}{2}a^2+2\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ a\sqrt{2}=2a^2+a^2\sqrt{2}\\P_c=a^2(2+\sqrt{2})\)
Objętość sześcianu:
\(V_s=a^3\)
Objętość ostrosłupa:
\(V_o=\frac{1}{3}a^2\cdot\ a=\frac{1}{3}a^3\)
Sześcian można złożyć z trzech takich ostrosłupów.
Ostrosłup otrzymany w ten sposób to ostrosłup taki, jak opisany w poprzednim zadaniu- ostrosłup o podstawie kwadratu, w którym jedna z krawędzi bocznych, o długości równej krawędzi podstawy, jest prostopadła do podstawy.
Dwie ściany to trójkąty prostokątne równoramienne. Dwa pozostałe to trójkąty prostokątne, w których jedna przyprostokątna ma długość równą krawędzi podstawy, a druga o długości równej przekątnej kwadratu (\(a\sqrt{2}\)
\(P_c=a^2+2\cdot\frac{1}{2}a^2+2\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ a\sqrt{2}=2a^2+a^2\sqrt{2}\\P_c=a^2(2+\sqrt{2})\)
Objętość sześcianu:
\(V_s=a^3\)
Objętość ostrosłupa:
\(V_o=\frac{1}{3}a^2\cdot\ a=\frac{1}{3}a^3\)
Sześcian można złożyć z trzech takich ostrosłupów.