graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dorota180690
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 27 sty 2010, 17:54

graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Post autor: dorota180690 » 27 sty 2010, 18:22

Najdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego
tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60⁰. Wiedząc że podstawę graniastosłupa
można wpisać w koło o promieniu 2√3 oblicz objętość tego
graniastosłupa proszę o szybkie rozwiązanie z wzorami i rysunkiem z góry dziękuję

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 27 sty 2010, 21:54

Kąt opisany w zadaniu to kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a dłuższą przekątną podstawy (sześciokąta foremnego).
a- krawędź podstawy
H- wysokość graniastosłupa
Promień koła opisanego na podstawie, o długości \(2\sqrt{3}\) ma taką samą długość, jak bok sześciokąta, czyli \(a=2\sqrt{3}\). Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość dwa razy dłuższą od boku sześciokąta.

Wysokość graniastosłupa (H), średnica koła opisanego na podstawie (\(4\sqrt{3}\)) i dłuższa przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny z kątem danym w zadaniu.

\(\frac{H}{2a}=tg60^o\\\frac{H}{4\sqrt{3}}=\sqrt{3}\\H=12\)
Pole podstawy:
\(P_p=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot\frac{12\sqrt{3}}{4}=18\sqrt{3}\)

Objętość:
\(V=P_p\cdot\ H\\V=18\sqrt{3}\cdot12\\V=216\sqrt{3}\)