graniastosłup prawidłowy trójkątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dorota180690
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 27 sty 2010, 17:54

graniastosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: dorota180690 » 27 sty 2010, 18:20

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest
równe sumie podstaw. Wyznacz sinus kata nachylenia przekątnej ściany bocznej
do sąsiędniej ściany bocznej Proszę o wytłumaczenie o wzory i o rysunek
i o szybkie rozwiązanie z góry dziękuję

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 27 sty 2010, 19:34

a- krawędź podstawy
H- wysokość graniastosłupa
p- przekątna ściany bocznej\(3aH=2\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\H=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\p^2=a^2+H^2\\p^2=a^2+\frac{3a^2}{36}\\p^2=\frac{39a^2}{36}\\p=\frac{a\sqrt{39}}{6}\)

Oznaczyłam: k - odcinek, który jest rzutem prostokątnym przekątnej p na sąsiednią ścianę boczną. Jest to odcinek łączący wierzchołek podstawy ze środkiem krawędzi drugiej podstawy.

\(k^2=H^2+(\frac{a}{2})^2\\k^2=\frac{3a^2}{36}+\frac{a^2}{4}\\k^2=\frac{3a^2}{9}\\k=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

h- wysokość podstawy(trójkąta równobocznego o boku a)

\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Odcinki: k, h i p tworzą trójkąt. Jest to trójkąt prostokątny, (można sprawdzić, że zachodzi twierdzenie Pitagorasa) w którym poszukiwany jest sinus kąta \(\alpha\) pomiędzy bokami k i p.

\(sin\alpha=\frac{h}{p}\\sin\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{39}}{6}}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\)