prostopadłościan

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
dorota180690
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 27 sty 2010, 17:54

prostopadłościan

Post autor: dorota180690 » 27 sty 2010, 18:19

W prostopadłościanie przekątna ściany bocznej o długości 8 cm jest
nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45⁰, a przekątna
prostopadłościanu tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30⁰. Oblicz długość
przekątnej d prostopadłościanu i jego objętości Proszę o szybkie rozwiązanie
najlepiej z rysunkiem z góry dziękuję i proszę pisać wzory

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 27 sty 2010, 18:44

a,b - krawędzie podstawy
c- wysokość prostopadłościanu.
p- przekątna podstawy
Kąt między przekątną ściany bocznej a podstawą to kąt między tą przekątną a krawędzią podstawy (a)
Kat nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy to kąt między tą przekątną a przekątną podstawy (p).

\(\frac{a}{8}=cos45^o\\\frac{a}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\a=4\sqrt{2}cm\)
Trójkąt prostokątny o kącie \(45^o\) to trójkąt równoramienny, więc \(c=a=4\sqrt{2}cm\).

\(\frac{c}{d}=sin30^o\\\frac{4\sqrt{2}}{d}=\frac{1}{2}\\d=8\sqrt{2}cm\)

\(\frac{p}{c}=ctg30^o\\\frac{p}{4\sqrt{2}}=\sqrt{3}\\p=4\sqrt{6}cm\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
\(p^2=a^2+b^2\\(4\sqrt{6})^2=(4\sqrt{2})^2+b^2\\b^2=96-32\\b^2=64\\b=8cm\)

Objętość:
\(V=abc\\V=4\sqrt{2}\cdot8\cdot4\sqrt{2}=256cm^3\)