Wyznacz objetosć graniastosłupa

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
wieczorek91
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 53
Rejestracja: 23 sty 2010, 16:23

Wyznacz objetosć graniastosłupa

Post autor: wieczorek91 » 26 sty 2010, 14:57

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątne ścian bocznych wychodzące z tego samego wierzchołka maja długosć p i tworzą kąt \(\alpha\). Wyznacz objetość tego graniastosłupa.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 26 sty 2010, 15:33

a- krawędź podstawy graniastosłupa
H- wysokość graniastosłupa

Przekątne o długości p tworzą z krawędzią podstawy (a) trójkat równoramienny. Z t5wierdzenia cosinusów:
\(a^2=2p^2-2p^2\cdot\ cos\alpha\\a^2=2p^2(1-cos\alpha)\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+a^2=p^2\\H^2=p^2-2p^2(1-cos\alpha)\\H^2=2p^2cos\alpha-p^2\\H=p\sqrt{2cos\alpha-1}\)

Objętość graniastosłupa:

\(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\ H\\V=\frac{2p^2(1-cos\alpha)\sqrt{3}}{4}\cdot\ p\sqrt{2cos\alpha-1}\\V=\frac{p^3(1-cos\alpha)\sqrt{3(2cos\alpha-1)}}{2}\)