Wyznacz objetosć graniastosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
wieczorek91
- Rozkręcam się
- Posty: 53
- Rejestracja: 23 sty 2010, 15:23
Wyznacz objetosć graniastosłupa
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątne ścian bocznych wychodzące z tego samego wierzchołka maja długosć p i tworzą kąt \(\alpha\). Wyznacz objetość tego graniastosłupa.
a- krawędź podstawy graniastosłupa
H- wysokość graniastosłupa
Przekątne o długości p tworzą z krawędzią podstawy (a) trójkat równoramienny. Z t5wierdzenia cosinusów:
\(a^2=2p^2-2p^2\cdot\ cos\alpha\\a^2=2p^2(1-cos\alpha)\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+a^2=p^2\\H^2=p^2-2p^2(1-cos\alpha)\\H^2=2p^2cos\alpha-p^2\\H=p\sqrt{2cos\alpha-1}\)
Objętość graniastosłupa:
\(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\ H\\V=\frac{2p^2(1-cos\alpha)\sqrt{3}}{4}\cdot\ p\sqrt{2cos\alpha-1}\\V=\frac{p^3(1-cos\alpha)\sqrt{3(2cos\alpha-1)}}{2}\)
H- wysokość graniastosłupa
Przekątne o długości p tworzą z krawędzią podstawy (a) trójkat równoramienny. Z t5wierdzenia cosinusów:
\(a^2=2p^2-2p^2\cdot\ cos\alpha\\a^2=2p^2(1-cos\alpha)\)
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+a^2=p^2\\H^2=p^2-2p^2(1-cos\alpha)\\H^2=2p^2cos\alpha-p^2\\H=p\sqrt{2cos\alpha-1}\)
Objętość graniastosłupa:
\(V=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\ H\\V=\frac{2p^2(1-cos\alpha)\sqrt{3}}{4}\cdot\ p\sqrt{2cos\alpha-1}\\V=\frac{p^3(1-cos\alpha)\sqrt{3(2cos\alpha-1)}}{2}\)