w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy po katem ostrym alfa, dla którego cos alfa=3\5. Wysokość ostrosłupa ma długość 12cm.
a) Wykaż, że alfa należy (45,60stopni)
b)Oblicz objętość tego ostrosłupa
ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
xxmarcia17xx
- Często tu bywam
- Posty: 174
- Rejestracja: 29 lis 2009, 17:41
- Podziękowania: 1 raz
a)
\(cos45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{3}{5}\), bo \(\sqrt{2}>1,2=\frac{6}{5}\)
\(cos60^o=\frac{1}{2}<\frac{3}{5}\)
Ponieważ w przedziale \((0;\frac{\pi}{2})\) cosinus jest funkcją różnowartościową malejącą, więc jeśli \(cos60^o<cos\alpha<cos45^o\), to \(45^o<\alpha<60^o\)
b)
\(h_b\)- wysokość ściany bocznej, a- krawędź podstawy, H=12cm- wysokość ostrosłupa
\(\frac{\frac{a}{2}}{h_b}=cos\alpha=\frac{3}{5}\\h_b=\frac{5}{6}a\\H^2+(\frac{a}{2})^2=h_b^2\\h^2+\frac{1}{4}a^2=\frac{25}{36}a^2\\a^2=\frac{36}{16}H^2\\a=\frac{3}{2}H\\a=18cm\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2H\\V=\frac{1}{3}\cdot18^2\cdot12\\V=1296cm^3\)
\(cos45^o=\frac{\sqrt{2}}{2}>\frac{3}{5}\), bo \(\sqrt{2}>1,2=\frac{6}{5}\)
\(cos60^o=\frac{1}{2}<\frac{3}{5}\)
Ponieważ w przedziale \((0;\frac{\pi}{2})\) cosinus jest funkcją różnowartościową malejącą, więc jeśli \(cos60^o<cos\alpha<cos45^o\), to \(45^o<\alpha<60^o\)
b)
\(h_b\)- wysokość ściany bocznej, a- krawędź podstawy, H=12cm- wysokość ostrosłupa
\(\frac{\frac{a}{2}}{h_b}=cos\alpha=\frac{3}{5}\\h_b=\frac{5}{6}a\\H^2+(\frac{a}{2})^2=h_b^2\\h^2+\frac{1}{4}a^2=\frac{25}{36}a^2\\a^2=\frac{36}{16}H^2\\a=\frac{3}{2}H\\a=18cm\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2H\\V=\frac{1}{3}\cdot18^2\cdot12\\V=1296cm^3\)