W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka ostrosłupa, są do siebie prostopadłe.
a) Oblicz sinus kiata nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
b_) Jakim procentem objętości sześcianu, którego krawędź ma długość równą długości krawędzi podstawy danego ostrosłupa, jest objętość tego ostrosłupa?
ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
xxmarcia17xx
- Często tu bywam
- Posty: 174
- Rejestracja: 29 lis 2009, 17:41
- Podziękowania: 1 raz
a)
a- krawędź podstawy ostrosłupa, b- krawędź boczna, \(h_b\)- wysokość ściany bocznej, H- wysokość ostrosłupa.
Mamy tutaj równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(h_b\), przeciwprostokątnej a i wysokości H.
Wynika stąd: \(H=\frac{a}{2}\), \(h_b=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Ściana boczna jest trójkatem równoramiennym o ramionach b, podstawie a i wysokości \(h_b\).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(b^2=h_b^2+(\frac{a}{2})^2\\b^2=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2\\b^2=\frac{3}{4}a^2\\b=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Kąt nachylenia krawędxi bocznej do podstawy to kąt między krawędzią boczną a promieniem okręgu opisanego na podstawie (połową przekątnej kwadratu podstawy).
\(sin\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
b)
Objętość tego ostrosłupa:
\(V_o=\frac{1}{3}a^2H\\V_o=\frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a}{2}=\frac{1}{6}a^3\)
Objętość sześcianu o krawędzi a:
\(V_s=a^3\)
Objętość ostrosłupa to \(\frac{1}{6}=16\frac{2}{3}%\) objętości sześcianu.
a- krawędź podstawy ostrosłupa, b- krawędź boczna, \(h_b\)- wysokość ściany bocznej, H- wysokość ostrosłupa.
Mamy tutaj równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(h_b\), przeciwprostokątnej a i wysokości H.
Wynika stąd: \(H=\frac{a}{2}\), \(h_b=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Ściana boczna jest trójkatem równoramiennym o ramionach b, podstawie a i wysokości \(h_b\).
Z twierdzenia Pitagorasa:
\(b^2=h_b^2+(\frac{a}{2})^2\\b^2=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4}a^2\\b^2=\frac{3}{4}a^2\\b=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Kąt nachylenia krawędxi bocznej do podstawy to kąt między krawędzią boczną a promieniem okręgu opisanego na podstawie (połową przekątnej kwadratu podstawy).
\(sin\alpha=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
b)
Objętość tego ostrosłupa:
\(V_o=\frac{1}{3}a^2H\\V_o=\frac{1}{3}a^2\cdot\frac{a}{2}=\frac{1}{6}a^3\)
Objętość sześcianu o krawędzi a:
\(V_s=a^3\)
Objętość ostrosłupa to \(\frac{1}{6}=16\frac{2}{3}%\) objętości sześcianu.