Stereometria - zadania otwarte

[anqa1991]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu podanych zadań. Z góry dziękuję

zad. 1
Krawędź podstawy graniastosłupa o podstawie rombu ma długość 2 m, a krawędź boczna 4 m. Ile wynosi łaćzna długość wszystkich krawędzi tego graniastosłupa
zad. 2
Prostokąt o bokach 4 cm na 8 cm zwinięto, tworząc powierzchnię boczną walca. Jeżeli tworząca tego walca wynosi 8 cm to ile wynosi promień podstawy tego walca?
zad.3
Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4, a przekątna tego graniastosłupa 9. Oblicz objętość.
zad. 4
Objętość stożka o kącie rozwarcia 60 stopni oraz wysokości 9 cm wynosi?
zad. 5
Ile wynosi pole powierzchni kuli o o objętości 288 pi?
zad. 6
Tworząca stożka o długości 12 tworzy z jego wysokością kąt 30 stopni. Ile wynosi jego pole powierzchni całkowitej?

[irena]

1.
Graniastosłup ten ma 8 krawędzi podstaw i 4 krawędzie boczne. Suma długości kawędzi:

\(S=8\cdot2m+4\cdot4m=32m\)

2.
Jeżeli tworząca walca ma 8cm, to zwinięty bok o długości 4cm to obwód podstawy walca.

\(2\pi\ r=4cm\\r=\frac{4}{2\pi}cm\\r=\frac{2}{\pi}cm\)

3.
Jeżeli krawędź podstawy graniastosłupa oznaczymy a, wysokość H, przekątną graniastosłupa p, to odcinki o długościach:
\(H,\ a\sqrt{2},\ p\) tworzą trójkąt prostokątny

\((a\sqrt{2})^2+H^2=p^2\\H^2=p^2-2a^2\\H^2=9^2-2\cdot4^2\\H^2=81-32\\H^2=49\\H=7\)

Objętość graniastosłupa:

\(V=a^2\cdot\ H\\V=4^2\cdot7\\V=112\)

4.
H=9cm - wysokość stożka
r- promień podstawy stożka
l- tworząca stożka

Jeśli kąt rozwarcia stożka ma \(60^o\), to przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku równym l=2r. Wysokość tego trójkąta to H.

\(H=\frac{2r\sqrt{3}}{2}\\r\sqrt{3}=H\\r=\frac{H}{\sqrt{3}}\\r=\frac{9}{\sqrt{3}}\\r=3\sqrt{3}cm\)

Objętość stożka:

\(V=\frac{1}{3}\pi\cdot\ r^2\cdot\ H\\V=\frac{1}{3}\pi\cdot(3\sqrt{3})^2\cdot9\\V=\frac{1}{3}\pi\cdot27\cdot9\\V=81\pi\ cm^3\)

5.
Objętość kuli: \(V_k=\frac{4}{3}\pi\ r^3\)

Pole powierzchni kuli: \(P_k=4\pi\ r^2\)
gdzie r- promień kuli

\(\frac{4}{3}\pi\cdot\ r^3=288\pi\\r^3=288\cdot\frac{3}{4}\\r^3=216\\r=6\)

Pole powierzchni kuli:

\(P_k=4\pi\cdot6^2\\P_k=144\pi\)

6.
H- wysokość stożka
l- tworząca stożka
r- promień podstawy stożka

Pole powierzchni stożka:
\(P_c=\pi\cdot\ r^2+\pi\cdot\ r\cdot\ l\)

\(\frac{H}{l}=cos30^o\\\frac{H}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\H=6\sqrt{3}\\\frac{r}{l}=sin30^o\\\frac{r}{12}=\frac{1}{2}\\r=6\)

Pole powierzchni stożka:

\(P_c=\pi\cdot6^2+\pi\cdot6\cdot12\\P_c=36\pi+72\pi\\P_c=108\pi\)