proszę o pomoc w rozwiazaniu:
Przekrój ośmiościanu foremnego, płaszczyzną przechodzącą przez dwa przeciwległe wierzchołki oraz środki dwóch przeciwległych krawędzi, jest rombem o polu powierzchni \(18 \sqrt{2}cm^2\). Oblicz sumę długosci wszyustkich krawędzi tego ośmiościanu.
dziękuję
suma dugości krawędzi ośmiościanu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Ośmiościan foremny to dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o wszystkich krawędziach równych (a), złączone podstawami. Ośmiościan foremny ma 12 krawędzi.
Przekrój w zadaniu jest rombem, w którym jedna przekątna ma długość a. Druga przekątna jest dwa razy dłuższa od wysokości ostrosłupa (H).
pole tego rombu:
\(P_prz=\frac{1}{2}\cdot\ a\cdot2H\\a\cdot\ H=18\sqrt{2}cm^2\).
Przekrój jednego takiego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wierzchołek ostrosłupa i przekątną jego podstawy jest trójkątem równoramiennym o ramionach równych a, podstawę o długości \(a\sqrt{2}\). Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa (H). Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=a^2\\H^2+\frac{1}{2}a^2=a^2\\H=\frac{1}{2}a^2\\H=\frac{a\sqrt{2}}{2}a\)
\(a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}\\a^2\sqrt{2}=36\sqrt{2}\\a^2=36\\a=6cm\)
Suma długości krawędzi:
\(S_k=12\cdot6=72cm\)
Przekrój w zadaniu jest rombem, w którym jedna przekątna ma długość a. Druga przekątna jest dwa razy dłuższa od wysokości ostrosłupa (H).
pole tego rombu:
\(P_prz=\frac{1}{2}\cdot\ a\cdot2H\\a\cdot\ H=18\sqrt{2}cm^2\).
Przekrój jednego takiego ostrosłupa płaszczyzną zawierającą wierzchołek ostrosłupa i przekątną jego podstawy jest trójkątem równoramiennym o ramionach równych a, podstawę o długości \(a\sqrt{2}\). Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa (H). Z twierdzenia Pitagorasa:
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=a^2\\H^2+\frac{1}{2}a^2=a^2\\H=\frac{1}{2}a^2\\H=\frac{a\sqrt{2}}{2}a\)
\(a\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}\\a^2\sqrt{2}=36\sqrt{2}\\a^2=36\\a=6cm\)
Suma długości krawędzi:
\(S_k=12\cdot6=72cm\)