11. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna bryły o długości 8 cm nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^{o}\) . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły.
12. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy o długości 6 tworzy z przekątną ściany bocznej kąt \(30^{o}\) . Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły.
13. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 5 cm, kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa wynosi \(60^{o}\) . Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa.
14. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym miara kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(60^{o}\) . Długość krawędzi podstawy wynosi \(2\sqrt{3}\) . Oblicz objętość bryły.
15. Rozwinięcie powierzchni bocznej walca jest prostokątem, którego przekątna tworzy z podstawą tego prostokąta kąt \(60^{o}\) . Oblicz V i Pc walca, gdy długość prostokąta wynosi \(24 \pi\) .
16. Prostokąt obraca się dokoła prostej, w której zawarty jest dłuższy jego bok. Oblicz Pb i Pc otrzymanej bryły, jeżeli przekątna obracającego się prostokąta ma długość \(2\sqrt{6}cm\) cm, z jeden z jego boków 4 cm.
17. Tworząca stożka nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^{o}\) , wysokość stożka wynosi 6 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły oraz objętość.
18. Oblicz objętość stożka, jeżeli pole powierzchni bocznej wynosi \(150\pi\) \(cm^2\) kwadratowych, promień podstawy jest połową tworzącej.
19. Z ćwiartki koła o promieniu 10 cm zwinięto powierzchnię boczną stożka. Oblicz objętość stożka.
geometria CKU Bydgoszcz
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zad. 11
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie czworokąt foremny (kwadrat), a ściany boczne są prostokątami
\(V=\ P_p\cdot H\)
z trójkąta którego tworzy przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź ściany bocznej
\(\sin 30^\circ=\frac{H}{8}\\)
\(\frac{1}{2}=\frac{H}{8}\)
\(1\cdot 8 = 2 \cdot H\)
\(H = 4\)
d -przekątna podstawy - kwadratu
\(\cos 30^\circ=\frac{d}{8}\\)
\(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{d}{8}\)
\(\8{\sqrt3}=\ 2d\) \(/:2\)
\(\4{\sqrt3}=\ d\)
\(\ d = a{\sqrt2}\)
d - przekątna kwadratu
a - bok kwadratu
\(\ d = 4{\sqrt3}\)
\(\4{\sqrt3}=\ a{\sqrt2}\) \(/:2\)
\(a=\frac {4\sqrt3}{\sqrt2}\)
\(a=\frac {4\sqrt3 \sqrt2}{\sqrt2 \cdot\sqrt2}=\frac {4\sqrt6}{2}=2{\sqrt6}\)
Ile wynosi pole podstawy kwadratu = pole podstawy bryły?
\(Pp=a \cdot a =a^2\)
\(Pp=2{\sqrt6}\cdot2{\sqrt6}=4\cdot 6 = 24\)
\(Pp = 24\)
Ile wynosi objętość ?
\(V = Pp \cdot H\)
\(V =24 \cdot 4\)
\(V =96\)
Ile wynosi pole ściany bocznej ?
Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(2{\sqrt6}\) i \(4\)
\(P_{kwadratu} = a \cdot b\)
\(P_{kwadratu} = 2{\sqrt6} \cdot 4 = 8{\sqrt6}\)
Ile wynosi pole powierzchni całkowitej bryły ?
\(P_c = 2 Pp + Pb\)
\(P_b = 4 \cdot 8{\sqrt6} = 32{\sqrt6}\) - pole boczne składa się z 4 prostokątów
czyli
\(P_c = 2 Pp + Pb\)
\(P_c = 2 \cdot 24 + 32{\sqrt6} = 48 + 32{\sqrt6}\)
Odp. Objętość bryły wynosi \(96\) , a pole całkowite \(48 + 32{\sqrt6}\).
Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie czworokąt foremny (kwadrat), a ściany boczne są prostokątami
\(V=\ P_p\cdot H\)
z trójkąta którego tworzy przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i krawędź ściany bocznej
\(\sin 30^\circ=\frac{H}{8}\\)
\(\frac{1}{2}=\frac{H}{8}\)
\(1\cdot 8 = 2 \cdot H\)
\(H = 4\)
d -przekątna podstawy - kwadratu
\(\cos 30^\circ=\frac{d}{8}\\)
\(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{d}{8}\)
\(\8{\sqrt3}=\ 2d\) \(/:2\)
\(\4{\sqrt3}=\ d\)
\(\ d = a{\sqrt2}\)
d - przekątna kwadratu
a - bok kwadratu
\(\ d = 4{\sqrt3}\)
\(\4{\sqrt3}=\ a{\sqrt2}\) \(/:2\)
\(a=\frac {4\sqrt3}{\sqrt2}\)
\(a=\frac {4\sqrt3 \sqrt2}{\sqrt2 \cdot\sqrt2}=\frac {4\sqrt6}{2}=2{\sqrt6}\)
Ile wynosi pole podstawy kwadratu = pole podstawy bryły?
\(Pp=a \cdot a =a^2\)
\(Pp=2{\sqrt6}\cdot2{\sqrt6}=4\cdot 6 = 24\)
\(Pp = 24\)
Ile wynosi objętość ?
\(V = Pp \cdot H\)
\(V =24 \cdot 4\)
\(V =96\)
Ile wynosi pole ściany bocznej ?
Ściana boczna jest prostokątem o bokach \(2{\sqrt6}\) i \(4\)
\(P_{kwadratu} = a \cdot b\)
\(P_{kwadratu} = 2{\sqrt6} \cdot 4 = 8{\sqrt6}\)
Ile wynosi pole powierzchni całkowitej bryły ?
\(P_c = 2 Pp + Pb\)
\(P_b = 4 \cdot 8{\sqrt6} = 32{\sqrt6}\) - pole boczne składa się z 4 prostokątów
czyli
\(P_c = 2 Pp + Pb\)
\(P_c = 2 \cdot 24 + 32{\sqrt6} = 48 + 32{\sqrt6}\)
Odp. Objętość bryły wynosi \(96\) , a pole całkowite \(48 + 32{\sqrt6}\).