Porszę o pomoc w rozwiazaniu:
Na ostrosłupie praidłowym czworokatnym, którego sciany boczne są nachylone do podstay pod katem \(60^o\) , opisano kulę o powierzchni \(16 \pi\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
dziekuje
pole powierzchni ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
R- promień kuli, a- krawędź podstawy ostrosłupa, b- krawędź boczna ostrosłupa H- wysokość ostrosłupa \(h_b\)- wysokość ściany bocznej ostrosłupa
\(4\pi\cdot\ R^2=16\pi\\r^2=4\\R=2\)
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej a promieniem okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa (o długości \(\frac{a}{2}\)
\(\frac{\frac{a}{2}}{h_b}=cos60^o\\h_b=a\\\frac{H}{h_b}=sin60^o\\H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(b^2=(\frac{a}{2})^2+h_b^2\\b^2=\frac{5}{4}a^2\\b=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Jeśli narysujemy przekrój kuli zawierający przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa, to otrzymamy trójkąt równoramienny o ramionach b i podstawie \(a\sqrt{2}\) wpisany w koło wielkie kuli, czyli w koło o promieniu 2. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa.
Z pola tego trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\ H=\frac{b\cdot\ b\cdot\ a\sqrt{2}}{4R}\)
\(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{(a\sqrt{5})^2\cdot\ a\sqrt{2}}{4\cdot4R}\ /\cdot4\\a^2\sqrt{6}=\frac{5a^3\sqrt{2}}{4R}\\4R\sqrt{6}=5a\sqrt{2}\\a=\frac{4\cdot2\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}\\a=\frac{8\sqrt{3}}{5}\)
\(a=\frac{8\sqrt{3}}{5}\)
Pole powierzchni ostrosłupa:
\(P_o=a^2+4\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ h_b\\P_o=a^2+2a^2\\P_o=3a^2\\P_o=3\cdot\frac{64\cdot3}{25}\\P_o=\frac{576}{25}=23.04\)
\(4\pi\cdot\ R^2=16\pi\\r^2=4\\R=2\)
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej a promieniem okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa (o długości \(\frac{a}{2}\)
\(\frac{\frac{a}{2}}{h_b}=cos60^o\\h_b=a\\\frac{H}{h_b}=sin60^o\\H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(b^2=(\frac{a}{2})^2+h_b^2\\b^2=\frac{5}{4}a^2\\b=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)
Jeśli narysujemy przekrój kuli zawierający przeciwległe krawędzie boczne ostrosłupa, to otrzymamy trójkąt równoramienny o ramionach b i podstawie \(a\sqrt{2}\) wpisany w koło wielkie kuli, czyli w koło o promieniu 2. Wysokość tego trójkąta to wysokość ostrosłupa.
Z pola tego trójkąta:
\(P=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\ H=\frac{b\cdot\ b\cdot\ a\sqrt{2}}{4R}\)
\(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{(a\sqrt{5})^2\cdot\ a\sqrt{2}}{4\cdot4R}\ /\cdot4\\a^2\sqrt{6}=\frac{5a^3\sqrt{2}}{4R}\\4R\sqrt{6}=5a\sqrt{2}\\a=\frac{4\cdot2\sqrt{6}}{5\sqrt{2}}\\a=\frac{8\sqrt{3}}{5}\)
\(a=\frac{8\sqrt{3}}{5}\)
Pole powierzchni ostrosłupa:
\(P_o=a^2+4\cdot\frac{1}{2}a\cdot\ h_b\\P_o=a^2+2a^2\\P_o=3a^2\\P_o=3\cdot\frac{64\cdot3}{25}\\P_o=\frac{576}{25}=23.04\)
Ostatnio zmieniony 10 sty 2010, 10:46 przez irena, łącznie zmieniany 2 razy.
Boki tego trójkąta to b, b, \(a\sqrt{2}\). Podstawą jest \(a\sqrt{2}\), wysokością jest H. Stąd lewa strona równości.
Prawa strona wynika z innego wzoru na pole trójkąta - iloczyn boków trójkąta przez 4 promienie okręgu opisanego na trójkącie.
Czyli: jeśli x, y, t to boki trójkąta, a R to promień okręgu opisanego na tym trójkącie, to pole trójkąta \(\frac{x\cdot\ y\cdot\ t}{4R}\).
Prawa strona wynika z innego wzoru na pole trójkąta - iloczyn boków trójkąta przez 4 promienie okręgu opisanego na trójkącie.
Czyli: jeśli x, y, t to boki trójkąta, a R to promień okręgu opisanego na tym trójkącie, to pole trójkąta \(\frac{x\cdot\ y\cdot\ t}{4R}\).
W miejscu, które wskazałaś, "umknęła" mi jedna czwórka z mianownika. Tę czwórkę później uprościłam z czwórką w mianowniku z prawej strony.
Powinno być:
\(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{(a\sqrt{5})^2\cdot\ a\sqrt{2}}{4\cdot4\cdot\ R\)
Po prawej stronie w mianowniku jest liczba 4. I tę czwórkę uprościłam z jedną czwórką w mianowniku po prawej stronie.
Stąd następna równość:
\(a^2\sqrt{6}=\frac{5a^2\cdot\ a\sqrt{2}}{4R}\).
Wszystko jest poprawne, zaraz uzupełnię te równości. Pozdrawiam. Irena
Powinno być:
\(\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{(a\sqrt{5})^2\cdot\ a\sqrt{2}}{4\cdot4\cdot\ R\)
Po prawej stronie w mianowniku jest liczba 4. I tę czwórkę uprościłam z jedną czwórką w mianowniku po prawej stronie.
Stąd następna równość:
\(a^2\sqrt{6}=\frac{5a^2\cdot\ a\sqrt{2}}{4R}\).
Wszystko jest poprawne, zaraz uzupełnię te równości. Pozdrawiam. Irena