proszę o pomoc w rozwiazaniu:
W ostrosłup prawidłowy czworokatny wpisano kulę o promieniu 2. Oblicz długość krawędzi tego ostrosłupa , jeżeli jego ściany boczne są nachylone do podstawy pod kątem 60\(^o\)
dziekuję
długość krawędzi ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a- krawędź podstawy, b- krawędź boczna, \(h_b\)- wysokość ściany bocznej
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy tego ostrosłupa to kąt między wysokością ściany bocznej a odcinkiem łączącym środki przeciwległych boków kwadratu, który jest podstawą.
W przekroju zawierającym wysokości przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa otrzymujemy trójkąt równoramienny, którego ramionami są wysokości przeciwległych ścian bocznych, a podstawą jest odcinek równy krawędzi podstawy. Ponieważ kąt przy podstawie (kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy) ma miarę \(60^o\), więc trójkąt ten jest równoboczny. (czyli \(h_b=a\)). Na tym przekroju mamy więc równoboczny trójkąt o boku a i wpisane w niego koło (koło wielkie kuli o promieniu 2).
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a to trzecia część wysokości trójkąta.
\(2=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\frac{a\sqrt{3}}{6}=2\\a=4\sqrt{3}\)
Na ścianie bocznej:
\((\frac{1}{2}a)^2+h_b^2=b^2\\b^2=a^2+\frac{1}{4}a^2\\b^2=48+\frac{48}{4}\\b^2=60\\b=2\sqrt{15}\)
Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy tego ostrosłupa to kąt między wysokością ściany bocznej a odcinkiem łączącym środki przeciwległych boków kwadratu, który jest podstawą.
W przekroju zawierającym wysokości przeciwległych ścian bocznych ostrosłupa otrzymujemy trójkąt równoramienny, którego ramionami są wysokości przeciwległych ścian bocznych, a podstawą jest odcinek równy krawędzi podstawy. Ponieważ kąt przy podstawie (kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy) ma miarę \(60^o\), więc trójkąt ten jest równoboczny. (czyli \(h_b=a\)). Na tym przekroju mamy więc równoboczny trójkąt o boku a i wpisane w niego koło (koło wielkie kuli o promieniu 2).
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku a to trzecia część wysokości trójkąta.
\(2=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\frac{a\sqrt{3}}{6}=2\\a=4\sqrt{3}\)
Na ścianie bocznej:
\((\frac{1}{2}a)^2+h_b^2=b^2\\b^2=a^2+\frac{1}{4}a^2\\b^2=48+\frac{48}{4}\\b^2=60\\b=2\sqrt{15}\)