cosinus kąta nachylena

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
celia11
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1860
Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
Podziękowania: 341 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

cosinus kąta nachylena

Post autor: celia11 »

proszę o pomoc w rozwiazaniu:

Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni dwa razy mniejsze od pola pwierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kata nachylenia tworzącej tego stożk do jego podstawy.

dziękuje
Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6584
Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1117 razy
Płeć:

Post autor: anka »

\(cos\alpha= \frac{1}{3}\)?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
celia11
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1860
Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
Podziękowania: 341 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: celia11 »

tak, ale jak do tego dojść?

dziekuję
Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6584
Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1117 razy
Płeć:

Post autor: anka »

Obrazek

Z warunków zadania
\(2 \cdot 4\pi R^2=\pi r(r+l)\)
\(8 R^2=r(r+l)\)
\(l= \frac{8R^2-r^2}{r}\)

Z podobieństwa trójkątów DBC i EFC
\(\frac{l}{r}= \frac{h-R}{R}\)
\(\frac{\frac{8R^2-r^2}{r}}{r}= \frac{h-R}{R}\)
\(\frac{8R^2-r^2}{r^2}= \frac{h-R}{R}\)
\(h= \frac{8R^3}{r^2}\)

Z twierdzenia Pitagorasa
\(l^2=h^2+r^2\)
\(( \frac{8R^2-r^2}{r})^2=( \frac{8R^3}{r^2})^2+r^2\)
\(\frac{16R^2(2R^2-r^2)^2}{r^4} =0\)
\(r=R \sqrt{2}\)

Obliczam \(cos\alpha\)
\(cos\alpha= \frac{r}{l}\)
\(cos\alpha= \frac{r}{\frac{8R^2-r^2}{r}}\)
\(cos\alpha= \frac{r^2}{8R^2-r^2}\)
\(cos\alpha= \frac{(R \sqrt{2})^2}{8R^2-(R \sqrt{2})^2}\)
\(cos\alpha= \frac{2R^2}{8R^2-2R^2}\)
\(cos\alpha= \frac{2R^2}{6R^2}\)
\(cos\alpha= \frac{1}{3}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
celia11
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1860
Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
Podziękowania: 341 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: celia11 »

anka pisze:
Z twierdzenia Pitagorasa

\(( \frac{8R^2-r^2}{r})^2=( \frac{8R^3}{r^2})^2+r^2\)
nie wiem jak dojść do tego zapisu:

\(\frac{16R^2(2R^2-r^2)^2}{r^4} =0\)

dziekuję bardzo
Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6584
Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1117 razy
Płeć:

Post autor: anka »

\(( \frac{8R^2-r^2}{r})^2=( \frac{8R^3}{r^2})^2+r^2\)
\(\frac{64R^4 - 16r^2R^2 + r^4}{r^2}= \frac{64R^6}{r^4}+r^2\)
\(\frac{64R^4 - 16r^2R^2 }{r^2}+ \frac{r^4}{r^2} = \frac{64R^6}{r^4}+r^2\)
\(\frac{64R^4 - 16r^2R^2 }{r^2}+ r^2 = \frac{64R^6}{r^4}+r^2\)
\(\frac{64R^4 - 16r^2R^2 }{r^2}= \frac{64R^6}{r^4}\)
\(\frac{64R^4 - 16r^2R^2 }{r^2}- \frac{64R^6}{r^4}=0\)
\(\frac{64R^4r^2 - 16r^4R^2 -64R^6}{r^4}=0\)
\(\frac{16R^2(4R^4-4R^2r^2+r^4)} {r^4}=0\)
\(\frac{16R^2(2R^2-r^2)^2} {r^4}=0\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
celia11
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1860
Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
Podziękowania: 341 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: celia11 »

anka pisze: \(\frac{64R^4 - 16r^2R^2 }{r^2}- \frac{64R^6}{r^4}=0\)
\(\frac{64R^4r^2 - 16r^4R^2 -64R^6}{r^2}=0\)
jeden z mianowników to jest \(r^4\)

więc jak to sie stało, że mamy wspólny mianownik \(r^2\)
Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6584
Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1117 razy
Płeć:

Post autor: anka »

Pomyłka. Już to poprawiłam
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
celia11
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1860
Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
Podziękowania: 341 razy
Otrzymane podziękowania: 5 razy

Post autor: celia11 »

anka pisze: \(\frac{16R^2(2R^2-r^2)^2}{r^4} =0\)

jeszcze tego nie rozumiem, dlaczego z powyżeszego zapisu wyszło to:

\(r=R \sqrt{2}\)


bardzo, bardzo dziekuję
Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6584
Rejestracja: 29 sty 2009, 23:25
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1117 razy
Płeć:

Post autor: anka »

\(\frac{16R^2(2R^2-r^2)^2}{r^4} =0\)

Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero

\(16R^2(2R^2-r^2)^2=0\)
czyli
\(16R^2=0\) - odrzucamy bo \(R \neq 0\)
lub
\((2R^2-r^2)^2=0\)
\(2R^2-r^2=0\)
\(r^2=2R^2\)
\(r=R \sqrt{2}\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.
ODPOWIEDZ