Kąty w graniastosłupach
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Kąty w graniastosłupach
Przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o długości 12 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60 stopni. Jaki kat tworzy ta przekątna z krawędzią podstawy?
Wprowadź oznaczenie: a- krawędź podstawy graniastosłupa (bok sześciokąta foremnego), H = wysokość graniastosłupa.
Jeżeli w zadaniu mowa jest o dłuższej przekątnej graniastosłupa, to jej kąt nachylenia do podstawy to kąt, jaki ta przekątna (p) tworzy z dłuższą przekątną podstawy. Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego o boku a ma długość 2a.
\(cos60^o=\frac{2a}{p}\\\frac{2a}{p}=\frac{1}{2}\\p=4a\\\frac{H}{2a}=tg60^o\\H=2a\sqrt{3}\)
Krótsza przekątna graniastosłupa (d) tworzy trójkąt prostokątny z wysokością graniastosłupa (H) i krótszą przekątną podstawy (krótsza przekątna sześciokąta foremnego o boku a ma długość \(a\sqrt{3}\)
\((2a\sqrt{3})^2+(a\sqrt{3})^2=d^2\\d^2=15a^2\\d=a\sqrt{15}\)
Mamy trójkąt o bokach a, d, p. Trzeba obliczyć kąt między bokami p i a \((\alpha)\).
Z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=p^2+a^2-2pa\ cos\alpha\\15a^2=(4a)^2+a^2-2\cdot4a^2\cdot\ cos\alpha\\15a^2=17a^2-8a^2cos\alpha\\8a^2cos\alpha=2a^2\\cos\alpha=\frac{1}{4}\)
Jeżeli w zadaniu mowa jest o dłuższej przekątnej graniastosłupa, to jej kąt nachylenia do podstawy to kąt, jaki ta przekątna (p) tworzy z dłuższą przekątną podstawy. Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego o boku a ma długość 2a.
\(cos60^o=\frac{2a}{p}\\\frac{2a}{p}=\frac{1}{2}\\p=4a\\\frac{H}{2a}=tg60^o\\H=2a\sqrt{3}\)
Krótsza przekątna graniastosłupa (d) tworzy trójkąt prostokątny z wysokością graniastosłupa (H) i krótszą przekątną podstawy (krótsza przekątna sześciokąta foremnego o boku a ma długość \(a\sqrt{3}\)
\((2a\sqrt{3})^2+(a\sqrt{3})^2=d^2\\d^2=15a^2\\d=a\sqrt{15}\)
Mamy trójkąt o bokach a, d, p. Trzeba obliczyć kąt między bokami p i a \((\alpha)\).
Z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=p^2+a^2-2pa\ cos\alpha\\15a^2=(4a)^2+a^2-2\cdot4a^2\cdot\ cos\alpha\\15a^2=17a^2-8a^2cos\alpha\\8a^2cos\alpha=2a^2\\cos\alpha=\frac{1}{4}\)
Druga wersja- dla krótszej przekątnej graniastosłupa.
Jej kąt nachylenia do podstawy to kąt między tą przekątną (p) a krótszą przekątną podstawy.
a- krawędź podstawy, H- wysokość graniastosłupa
Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa (sześciokąta foremnego) ma długość \(a\sqrt{3}\)
\(tg60^o=\frac{H}{a\sqrt{3}}\\H=3a\\cos60^o=\frac{a\sqrt{3}}{p}\\\frac{a\sqrt{3}}{p}=\frac{1}{2}\\p=2a\sqrt{3}\)
Przekątna ściany bocznej (d):
\(d^2=a^2+H^2\\d^2=a^2+(3a)^2\\d^2=10a^2
d=a\sqrt{10}\)
Mamy trójkąt o bokach d, p, a, Kąt, który trzeba znaleźć \(\alpha\) , to kąt między bokami p,a.
Z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=p^2+a^2-2pacos\alpha\\10a^2=12a^2+a^2-4a^2\sqrt{3}cos\alpha\\4a^2\sqrt{3}cos\alpha=3a^2\\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Jej kąt nachylenia do podstawy to kąt między tą przekątną (p) a krótszą przekątną podstawy.
a- krawędź podstawy, H- wysokość graniastosłupa
Krótsza przekątna podstawy graniastosłupa (sześciokąta foremnego) ma długość \(a\sqrt{3}\)
\(tg60^o=\frac{H}{a\sqrt{3}}\\H=3a\\cos60^o=\frac{a\sqrt{3}}{p}\\\frac{a\sqrt{3}}{p}=\frac{1}{2}\\p=2a\sqrt{3}\)
Przekątna ściany bocznej (d):
\(d^2=a^2+H^2\\d^2=a^2+(3a)^2\\d^2=10a^2
d=a\sqrt{10}\)
Mamy trójkąt o bokach d, p, a, Kąt, który trzeba znaleźć \(\alpha\) , to kąt między bokami p,a.
Z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=p^2+a^2-2pacos\alpha\\10a^2=12a^2+a^2-4a^2\sqrt{3}cos\alpha\\4a^2\sqrt{3}cos\alpha=3a^2\\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Oznaczenia: a- krawędź podstawy, H- wysokość, d- przekątna ściany bocznej.
Kąt nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do podstawy \(\alpha\)) to kąt między tą przekątną (p) a przekątną podstawy (przekątną kwadratu o boku a, czyli odcinka o długości \(a\sqrt{2}\)).
\(\frac{H}{a\sqrt{2}}=tg60^o\\H=a\sqrt{6}\\\frac{a\sqrt{2}}{p}=cos60^o\\p=2a\sqrt{2}\\d^2+a^2=H^2\\d^2+a^2=6a^2\\d^2=5a^2\\d=a\sqrt{5}\)
Mamy trójkąt o bokach a, d, p. Szukany kąt to kąt między bokami a, p.
Z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=a^2+p^2-2ap\ cos\alpha\\5a^2=a^2+8a^2-4a^2\sqrt{2}cos\alpha\\4a^2\sqrt{2}cos\alpha=4a^2\\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\alpha=45^o\)
Kąt nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do podstawy \(\alpha\)) to kąt między tą przekątną (p) a przekątną podstawy (przekątną kwadratu o boku a, czyli odcinka o długości \(a\sqrt{2}\)).
\(\frac{H}{a\sqrt{2}}=tg60^o\\H=a\sqrt{6}\\\frac{a\sqrt{2}}{p}=cos60^o\\p=2a\sqrt{2}\\d^2+a^2=H^2\\d^2+a^2=6a^2\\d^2=5a^2\\d=a\sqrt{5}\)
Mamy trójkąt o bokach a, d, p. Szukany kąt to kąt między bokami a, p.
Z twierdzenia cosinusów:
\(d^2=a^2+p^2-2ap\ cos\alpha\\5a^2=a^2+8a^2-4a^2\sqrt{2}cos\alpha\\4a^2\sqrt{2}cos\alpha=4a^2\\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\alpha=45^o\)