1.Sześcian o krawędzi długości 10cm przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do niej pod kątem 50°. Uzasadnij, że przekrój jest trójkątem i oblicz pole przekroju. Wynik podaj z dokładnością do 0,1cm².
2.Ściana boczna w ostrosłupie czworokątnym prawidłowym jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 70stopni, a wysokość tej ściany ma długość 10cm. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
Proszę o dokładne rozwiązania.
sześcian i ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
a=10cm - krawędź sześcianu
Jeśli przez x oznaczymy wysokość, na jaką sięga płaszczyzna przekroju, to
\(tg50^o=\frac{x}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\\x=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\ tg50^o\\x\approx0,84287a\\x<a\)
Płaszczyzna przekroju przecina więc krawędź sześcianu. Przekrój jest trójkątem o podstawie \(a\sqrt{2}\)
Kąt dany jest kątem między przekątną podstawy a wysokością tego trójkąta.
Oznaczmy wysokość tego trójkąta h.
Z twierdzenia Pitagorasa
\(h^2=x^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\\h^2=(\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\ tg50^o)^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\\h^2=\frac{a^2}{2}(1+tg^250^o)\\h=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{1+tg^250^o}\)
Pole przekroju
\(P_p=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{1+tg^250^o}\\P_p=\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt{\frac{cos^250^o+sin^250^o}{cos^250^o}}=\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{cos^250^o}}\\P_p=\frac{a^2}{2cos50^o}\)
\(P_p\approx\frac{100}{2\cdot0,6428}\\P_p\approx77,8cm^2\)
a=10cm - krawędź sześcianu
Jeśli przez x oznaczymy wysokość, na jaką sięga płaszczyzna przekroju, to
\(tg50^o=\frac{x}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}\\x=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\ tg50^o\\x\approx0,84287a\\x<a\)
Płaszczyzna przekroju przecina więc krawędź sześcianu. Przekrój jest trójkątem o podstawie \(a\sqrt{2}\)
Kąt dany jest kątem między przekątną podstawy a wysokością tego trójkąta.
Oznaczmy wysokość tego trójkąta h.
Z twierdzenia Pitagorasa
\(h^2=x^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\\h^2=(\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\ tg50^o)^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\\h^2=\frac{a^2}{2}(1+tg^250^o)\\h=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{1+tg^250^o}\)
Pole przekroju
\(P_p=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{1+tg^250^o}\\P_p=\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt{\frac{cos^250^o+sin^250^o}{cos^250^o}}=\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{cos^250^o}}\\P_p=\frac{a^2}{2cos50^o}\)
\(P_p\approx\frac{100}{2\cdot0,6428}\\P_p\approx77,8cm^2\)
2.
a- krawędź podstawy, H - wysokość ostrosłupa
Wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny z promieniem okręgu wpisanego w podstawę (\(\frac{a}{2}\)).
W tym trójkącie :
\(sin70^o=\frac{H}{10}\\H=10sin70^ocm\)
\(\frac{\frac{a}{2}}{10}=cos70^o\\a=20cos70^ocm\)
Pole powierzchni bocznej
\(P_b=4\cdot\frac{1}{2}a\cdot10\\P_b=20a\\P_b=400cos70^ocm^2\\P_b\approx400\cdot0,3420cm^2=136,80cm^2\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2H\\V=\frac{1}{3}\cdot400cos^270^o\cdot10sin70^o=\frac{4000}{3}\cdot\ cos^270^o\cdot\ sin70^o\\V\approx\frac{4000}{3}\cdot(0,3420)^2\cdot0,9397\\V\approx146,55cm^3\)
a- krawędź podstawy, H - wysokość ostrosłupa
Wysokość ściany bocznej i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny z promieniem okręgu wpisanego w podstawę (\(\frac{a}{2}\)).
W tym trójkącie :
\(sin70^o=\frac{H}{10}\\H=10sin70^ocm\)
\(\frac{\frac{a}{2}}{10}=cos70^o\\a=20cos70^ocm\)
Pole powierzchni bocznej
\(P_b=4\cdot\frac{1}{2}a\cdot10\\P_b=20a\\P_b=400cos70^ocm^2\\P_b\approx400\cdot0,3420cm^2=136,80cm^2\)
Objętość:
\(V=\frac{1}{3}a^2H\\V=\frac{1}{3}\cdot400cos^270^o\cdot10sin70^o=\frac{4000}{3}\cdot\ cos^270^o\cdot\ sin70^o\\V\approx\frac{4000}{3}\cdot(0,3420)^2\cdot0,9397\\V\approx146,55cm^3\)