Przekątna przekroju osiowego walca długości d jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa. Oblicz objętość i pole powierzchni.
Kto pomoże?
walec
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
H- wysokość walca
r- promień podstawy walca
Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym przyprostokątne to H i 2r, a przeciwprostokątna to d.
\(\frac{H}{d}=sin\alpha\\H=d\cdot\ sin\alpha\)
\(\frac{2r}{d}=cos\alpha\\2r=d\cdot\ cos\alpha\\r=\frac{d\cdot\ cos\alpha}{2}\)
Pole powierzchni:
\(P=2\pi\ rH+2\pi\ r^2\\P=2\pi\cdot\frac{d\ cos\alpha}{2}\cdot\ d\ sin\alpha+2\pi\cdot\frac{d^2\ cos^2\alpha}{4}=\pi\ d^2\cdot\ sin\alpha\ cos\alpha+\frac{1}{2}\pi\ d^2\cdot\ cos^2\alpha\\P=\pi\cdot\ d^2\cdot\frac{2sin\alpha\ cos\alpha+cos^2\alpha}{2}=\frac{\pi\ d^2}{2}(sin2\alpha+cos^2\alpha)\)
Objętość
\(V=\pi\ r^2H\\V=\pi\cdot\frac{d^2\cdot\ cos^2\alpha}{4}\cdot\ d\ sin\alpha\\V=\frac{\pi\ d^3}{4}\cdot\ sin\alpha\ cos^2\alpha\)
r- promień podstawy walca
Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym przyprostokątne to H i 2r, a przeciwprostokątna to d.
\(\frac{H}{d}=sin\alpha\\H=d\cdot\ sin\alpha\)
\(\frac{2r}{d}=cos\alpha\\2r=d\cdot\ cos\alpha\\r=\frac{d\cdot\ cos\alpha}{2}\)
Pole powierzchni:
\(P=2\pi\ rH+2\pi\ r^2\\P=2\pi\cdot\frac{d\ cos\alpha}{2}\cdot\ d\ sin\alpha+2\pi\cdot\frac{d^2\ cos^2\alpha}{4}=\pi\ d^2\cdot\ sin\alpha\ cos\alpha+\frac{1}{2}\pi\ d^2\cdot\ cos^2\alpha\\P=\pi\cdot\ d^2\cdot\frac{2sin\alpha\ cos\alpha+cos^2\alpha}{2}=\frac{\pi\ d^2}{2}(sin2\alpha+cos^2\alpha)\)
Objętość
\(V=\pi\ r^2H\\V=\pi\cdot\frac{d^2\cdot\ cos^2\alpha}{4}\cdot\ d\ sin\alpha\\V=\frac{\pi\ d^3}{4}\cdot\ sin\alpha\ cos^2\alpha\)