objętość najmniejszego walca

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
celia11
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1860
Rejestracja: 22 lut 2009, 16:26
Podziękowania: 341 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy

objętość najmniejszego walca

Post autor: celia11 » 02 sty 2010, 18:07

proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Przekroje osiowe pięciu walców są kwadratami, których pola (w \(cm^2\)) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie \(\frac{1}{4}\), a suma tych pól kwadratów jest równa \(5\frac{21}{64}cm^2\) . Oblicz objętość najmniejszego walca.

dziekuję

Awatar użytkownika
domino21
Expert
Expert
Posty: 3724
Rejestracja: 27 mar 2009, 17:56
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1297 razy
Płeć:

Post autor: domino21 » 02 sty 2010, 18:53

\(a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4=5\frac{21}{64}
a_1(1+q+q^2+q^3+q^4)=\frac{341}{64}
a_1(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256})=\frac{341}{64}
\frac{341}{256}a_1=\frac{341}{64}
a_1=4\)


przekrój osiowy najmniejszego walca wynosi \(a_1q^4=4\cdot (\frac{1}{4})^4=\frac{1}{64}\)
przekrój jest kwadratem, więc wysokość walca \(h=\frac{1}{8}cm\) i średnica podstawy \(d=\frac{1}{8}cm^2 \ \Rightarrow \ r=\frac{1}{16}cm^2\)

podstawiając do wzoru na objętość otrzymamy:
\(V=\pi r^2\cdot h
V=\pi\cdot (\frac{1}{16})^2\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{32768}\pi cm^3=\frac{1}{2^{15}}\pi =2^{-15}\pi cm^3\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 02 sty 2010, 19:05

2r=H, gdzie r- promień podstawy, H- wysokość największego walca

Pole przekroju=\(2r\cdot\ H=4r^2\)

\(a_1=4r^2\\q=\frac{1}{4}\\S_5=4r^2\cdot\frac{1-(\frac{1}{4})^5}{1-\frac{1}{4}}=\frac{341}{64}\\r^2\cdot\frac{1023}{192}=\frac{341}{64}\\r^2=1\\r=1cm\)

R- promień podstawy, h- wysokość najmniejszego walca
\(a_5=4\cdot(\frac{1}{4})^4\\a_5=\frac{1}{64}\\4R^2=\frac{1}{64}\\R^2=\frac{1}{256}\\R=\frac{1}{16}\\h=\frac{1}{8}\)

Objętość:

\(V=\pi\cdot\ R^2h\\V=\pi\cdot(\frac{1}{16})^2\cdot\frac{1}{8}\\V=\frac{\pi}{2048}cm^3\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 02 sty 2010, 19:09

domino21 pisze:\(a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+a_1q^4=5\frac{21}{64}
a_1(1+q+q^2+q^3+q^4)=\frac{341}{64}
a_1(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256})=\frac{341}{64}
\frac{341}{256}a_1=\frac{341}{64}
a_1=4\)


przekrój osiowy najmniejszego walca wynosi \(a_1q^4=4\cdot (\frac{1}{4})^4=\frac{1}{64}\)
przekrój jest kwadratem, więc wysokość walca \(h=\frac{1}{8}cm\) i średnica podstawy \(d=\frac{1}{8}cm^2 \ \Rightarrow \ r=\frac{1}{16}cm^2\)

podstawiając do wzoru na objętość otrzymamy:
\(V=\pi r^2\cdot h
V=\pi\cdot (\frac{1}{16})^2\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{32768}\pi cm^3=\frac{1}{2^{15}}\pi =2^{-15}\pi cm^3\)

Chyba się pomyliłeś z tymi potęgami dwójki. Mi w mianowniku wyszło \(2^{11}\). Sprawdź - może to ja się mylę.

Awatar użytkownika
domino21
Expert
Expert
Posty: 3724
Rejestracja: 27 mar 2009, 17:56
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 1297 razy
Płeć:

Post autor: domino21 » 02 sty 2010, 19:13

irena, miałaś rację, w moim zapisie powinno być:

\(V=\pi \cdot (\frac{1}{16})^2\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2048}\pi=2^{-11}\pi \ cm^3\)

(przez przypadek przemnożyło mi się jeszcze raz przez 16) :?

i oczywiście promień i średnica w \(cm\) a nie \(cm^2\)