Kula opisana na stożku

[max04]

Witam,
mam bardzo trudne zadanie ze stereometrii, nie mogę go do końca zrobić, a jest mi potrzebne rozwiązanie na jutro, bardzo proszę o pomoc:
Zad. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi 3:8. Znajdź kąt rozwarcia tego stożka.
Wychodzi mi coś takiego:
\(8 \sin^3 \alpha - 8 sin \alpha + 3 = 0\) ( \(\alpha\) to połowa kąta rozwarcia stożka). Oczywiście za \(sin\alpha\) mogę podstawić a. Wtedy otrzymam :
\(8a^3-8a+3=0\). I co dalej? Może ktoś zna inny sposób jak to zrobić?

[heja]

czy znasz odpowiedż?

[heja]

skąd otrzymałeś równanie trzeciego stopnia? - sprawdż jeszcze raz,w zadaniu jest mowa o polach powierzchni,więc powinieneś otrzymać równanie stopnia drugiego;

[heja]

oznacz:
l - tworząca stożka,
r - promień podstawy stożka,
h - wysokość stożka,
alfa - połowa kąta rozwarcia stożka,
R - promień kuli,
wtedy : sin alfa = r/l ; stąd r = l sin alfa;
cos alfa = h/l ; stąd h = l cos alfa;
R = 2/3 h = 2/3 l cos alfa;
wykorzystaj to do wzorów na pola powierzchni i otrzymasz równanie kwadratowe z sin alfa (po wcześniejszym zastosowaniu jedynki
trygonometrycznej);
jeśli się nie pomyliłam,to alfa = 30 stopni;
powodzenia

[max04]

Bo ja zrobiłem to inaczej, korzystałem z tw. sinusów, oprócz tego wykorzystałem tą zależność z polami, że się równa 3/8 i wyszło mi dobrze, już wiem jak dalej trzeba było zrobić, a zaraz zobaczę Twoim sposobem, a pytałeś o odp. : 60 i 81 stopni.

[Galen]

oznacz:
l - tworząca stożka,
r - promień podstawy stożka,
h - wysokość stożka,
alfa - połowa kąta rozwarcia stożka,
R - promień kuli,
wtedy : sin alfa = r/l ; stąd r = l sin alfa;
cos alfa = h/l ; stąd h = l cos alfa;
R = 2/3 h = 2/3 l cos alfa;
wykorzystaj to do wzorów na pola powierzchni i otrzymasz równanie kwadratowe z sin alfa (po wcześniejszym zastosowaniu jedynki
trygonometrycznej);
jeśli się nie pomyliłam,to alfa = 30 stopni;
powodzenia

Skąd masz pewność,że R=(2/3)h ???

[max04]

No właśnie, jak heja tak napisała, to pomyślałem że może jest taka zależność, ale o ile się nie mylę to ona występuje w trójkącie równobocznym tylko.

[max04]

Policzyłem wg. obliczeń heji i faktycznie wychodzi alfa=30 stopni, czyli kąt równy 60, ale tak jak pisałem wcześniej odpowiedzi są 2 i co ? Poza tym nie wiadomo czy może napisać tą zależność z R od h.??

[anka]

R = 2/3 h - to tylko w trójkącie równobocznym

[Galen]

Witam,
mam bardzo trudne zadanie ze stereometrii, nie mogę go do końca zrobić, a jest mi potrzebne rozwiązanie na jutro, bardzo proszę o pomoc:
Zad. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi 3:8. Znajdź kąt rozwarcia tego stożka.
Wychodzi mi coś takiego:
\(8 \sin^3 \alpha - 8 sin \alpha + 3 = 0\) ( \(\alpha\) to połowa kąta rozwarcia stożka). Oczywiście za \(sin\alpha\) mogę podstawić a. Wtedy otrzymam :
\(8a^3-8a+3=0\). I co dalej? Może ktoś zna inny sposób jak to zrobić?

Też mam takie równanie.
W(1/2) = 0
czyli sin(alfa) = 1/2--------------------------> alfa=30 stopni lub 150 stopni.

[max04]

No dokładnie, tutaj heja się pomyliła a Ty anka jakbyś to zrobiła? Tak jak ja zrobiłem i później szukanie podzielników wyrazu wolnegoo, następnie podzielenie wielomianu przez jedno z rozwiązań i znalezienie 2? Czy może masz inny łatwiejszy sposób, bo u mnie jak na razie tylko ten się sprawdził w 100 % dobrze.

[anka]

Masz już wskazówki na innym topiku, ja bym robiła tak jak tam podano.

[heja]

sory - pomyliłam trójkąty

[marcin77]

\(\begin{cases}\frac{3}{8}=\frac{\pi r l}{4 \pi R^2}\\2R=\frac{2r}{sin a}\\(2r)^2=2l^2-2l^2cos a \end{cases}\)

r - promień podstawy stożka
l - tworząca stożka
R - promień kuli opisanej na stożku

drugi wzór - twierdzenie sinusów
trzeci wzór - twierdzenie cosinusów

[max04]

Już sobie poradziłem, ale dziękuję za pomoc