Kula opisana na stożku

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
max04
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 12 mar 2009, 19:42

Kula opisana na stożku

Post autor: max04 » 21 gru 2009, 16:14

Witam,
mam bardzo trudne zadanie ze stereometrii, nie mogę go do końca zrobić, a jest mi potrzebne rozwiązanie na jutro, bardzo proszę o pomoc:
Zad. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi 3:8. Znajdź kąt rozwarcia tego stożka.
Wychodzi mi coś takiego:
\(8 \sin^3 \alpha - 8 sin \alpha + 3 = 0\) ( \(\alpha\) to połowa kąta rozwarcia stożka). Oczywiście za \(sin\alpha\) mogę podstawić a. Wtedy otrzymam :
\(8a^3-8a+3=0\). I co dalej? Może ktoś zna inny sposób jak to zrobić?

heja
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1231
Rejestracja: 07 lut 2009, 12:28
Podziękowania: 32 razy
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Post autor: heja » 21 gru 2009, 20:37

czy znasz odpowiedż?

heja
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1231
Rejestracja: 07 lut 2009, 12:28
Podziękowania: 32 razy
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Post autor: heja » 21 gru 2009, 21:04

skąd otrzymałeś równanie trzeciego stopnia? - sprawdż jeszcze raz,w zadaniu jest mowa o polach powierzchni,więc powinieneś otrzymać równanie stopnia drugiego;

heja
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1231
Rejestracja: 07 lut 2009, 12:28
Podziękowania: 32 razy
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Post autor: heja » 21 gru 2009, 21:27

oznacz:
l - tworząca stożka,
r - promień podstawy stożka,
h - wysokość stożka,
alfa - połowa kąta rozwarcia stożka,
R - promień kuli,
wtedy : sin alfa = r/l ; stąd r = l sin alfa;
cos alfa = h/l ; stąd h = l cos alfa;
R = 2/3 h = 2/3 l cos alfa;
wykorzystaj to do wzorów na pola powierzchni i otrzymasz równanie kwadratowe z sin alfa (po wcześniejszym zastosowaniu jedynki
trygonometrycznej);
jeśli się nie pomyliłam,to alfa = 30 stopni;
powodzenia

max04
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 12 mar 2009, 19:42

Post autor: max04 » 21 gru 2009, 21:36

Bo ja zrobiłem to inaczej, korzystałem z tw. sinusów, oprócz tego wykorzystałem tą zależność z polami, że się równa 3/8 i wyszło mi dobrze, już wiem jak dalej trzeba było zrobić, a zaraz zobaczę Twoim sposobem, a pytałeś o odp. : 60 i 81 stopni.

Galen
Guru
Guru
Posty: 18452
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9156 razy

Post autor: Galen » 21 gru 2009, 21:43

heja pisze:oznacz:
l - tworząca stożka,
r - promień podstawy stożka,
h - wysokość stożka,
alfa - połowa kąta rozwarcia stożka,
R - promień kuli,
wtedy : sin alfa = r/l ; stąd r = l sin alfa;
cos alfa = h/l ; stąd h = l cos alfa;
R = 2/3 h = 2/3 l cos alfa;
wykorzystaj to do wzorów na pola powierzchni i otrzymasz równanie kwadratowe z sin alfa (po wcześniejszym zastosowaniu jedynki
trygonometrycznej);
jeśli się nie pomyliłam,to alfa = 30 stopni;
powodzenia
Skąd masz pewność,że R=(2/3)h ???
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

max04
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 12 mar 2009, 19:42

Post autor: max04 » 21 gru 2009, 21:51

No właśnie, jak heja tak napisała, to pomyślałem że może jest taka zależność, ale o ile się nie mylę to ona występuje w trójkącie równobocznym tylko.

max04
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 12 mar 2009, 19:42

Post autor: max04 » 21 gru 2009, 22:00

Policzyłem wg. obliczeń heji i faktycznie wychodzi alfa=30 stopni, czyli kąt równy 60, ale tak jak pisałem wcześniej odpowiedzi są 2 i co ? Poza tym nie wiadomo czy może napisać tą zależność z R od h.??

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1113 razy
Płeć:

Post autor: anka » 21 gru 2009, 22:26

R = 2/3 h - to tylko w trójkącie równobocznym
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

Galen
Guru
Guru
Posty: 18452
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9156 razy

Post autor: Galen » 21 gru 2009, 22:38

max04 pisze:Witam,
mam bardzo trudne zadanie ze stereometrii, nie mogę go do końca zrobić, a jest mi potrzebne rozwiązanie na jutro, bardzo proszę o pomoc:
Zad. Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola powierzchni kuli opisanej na tym stożku wynosi 3:8. Znajdź kąt rozwarcia tego stożka.
Wychodzi mi coś takiego:
\(8 \sin^3 \alpha - 8 sin \alpha + 3 = 0\) ( \(\alpha\) to połowa kąta rozwarcia stożka). Oczywiście za \(sin\alpha\) mogę podstawić a. Wtedy otrzymam :
\(8a^3-8a+3=0\). I co dalej? Może ktoś zna inny sposób jak to zrobić?
Też mam takie równanie.
W(1/2) = 0
czyli sin(alfa) = 1/2--------------------------> alfa=30 stopni lub 150 stopni.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

max04
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 12 mar 2009, 19:42

Post autor: max04 » 21 gru 2009, 22:38

No dokładnie, tutaj heja się pomyliła a Ty anka jakbyś to zrobiła? Tak jak ja zrobiłem i później szukanie podzielników wyrazu wolnegoo, następnie podzielenie wielomianu przez jedno z rozwiązań i znalezienie 2? Czy może masz inny łatwiejszy sposób, bo u mnie jak na razie tylko ten się sprawdził w 100 % dobrze.

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1113 razy
Płeć:

Post autor: anka » 21 gru 2009, 22:43

Masz już wskazówki na innym topiku, ja bym robiła tak jak tam podano.
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

heja
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1231
Rejestracja: 07 lut 2009, 12:28
Podziękowania: 32 razy
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Post autor: heja » 21 gru 2009, 22:44

sory - pomyliłam trójkąty

marcin77
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 387
Rejestracja: 12 gru 2009, 15:45
Lokalizacja: gdzieś nad Bałtykiem
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 36 razy

Post autor: marcin77 » 21 gru 2009, 23:21

\(\begin{cases}\frac{3}{8}=\frac{\pi r l}{4 \pi R^2}\\2R=\frac{2r}{sin a}\\(2r)^2=2l^2-2l^2cos a \end{cases}\)

r - promień podstawy stożka
l - tworząca stożka
R - promień kuli opisanej na stożku

drugi wzór - twierdzenie sinusów
trzeci wzór - twierdzenie cosinusów

max04
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 52
Rejestracja: 12 mar 2009, 19:42

Post autor: max04 » 22 gru 2009, 16:14

Już sobie poradziłem, ale dziękuję za pomoc