Objętośc graniastosłupa

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
jordan125
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 9
Rejestracja: 13 sie 2009, 21:05

Objętośc graniastosłupa

Post autor: jordan125 » 18 gru 2009, 00:03

Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległoboku o kącie ostrym alfa. Przekątne graniastosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami beta i gama (beta < gama), a wysokość graniastosłupa ma długość H. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1113 razy
Płeć:

Post autor: anka » 18 gru 2009, 01:00

Obrazek

Obliczam \(e\)
\(ctg\gamma=\frac{|BD|}{|DD'|}\\
ctg\gamma=\frac{e}{H}\\
e=Hctg\gamma\)


Obliczam \(f\)
\(ctg\beta=\frac{|AC|}{|CC'|}\\
ctg\beta=\frac{f}{H}\\
f=Hctg\beta\)


Obliczam pole podstawy
\(P=ah\)
\(sin\alpha=\frac{h}{b} \Rightarrow h=b sin\alpha\)
\(P=ab sin\alpha\)

Z twierdzenia cosinusów dla trojkątów w podstawie mamy
\(e^2=a^2+b^2-2abcos\alpha \Rightarrow a^2+b^2=e^2+2abcos\alpha\)

\(f^2=a^2+b^2-2abcos(180^o-\alpha)\)
\(f^2=a^2+b^2+2abcos\alpha\)
\(f^2=e^2+2abcos\alpha+2abcos\alpha\)
\(f^2=e^2+4abcos\alpha\)
\(ab=\frac{f^2-e^2}{4cos\alpha}\)

czyli
\(P=ab sin\alpha\)
\(P=\frac{f^2-e^2}{4cos\alpha} sin\alpha\)
\(P=\frac{f^2-e^2}{4} tg\alpha\)

Podstaw
\(e=Hctg\gamma\)
\(f=Hctg\beta\)


\(V=\frac{1}{4} H^3 tg \alpha (ctg^2 \beta - ctg{^2 \gamma)\)
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.