Ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym płaszczyzna ściany bocznej tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60 stopni,
krawędź podstawy wynosi 4 cm włożono do papierowej tuby w kształcie walca zamkniętej z obu stron.Oblicz, ile wykorzystano
materiału do wykonania tej tuby (nie uwzględniamy materiału na zagięcia). Wynik podaj bez przybliżeń.
dla mnie zadanie czarna magia
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Zakładamy, że ostrosłup włożono "na sztywno" (nie ma luzu). Wtedy okrąg podstawy walca jest opisany na trójkącie podstawy ostrosłupa. Promień tego okręgu (R) to promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o boku 4cm.
Wysokość tego trójkąta (h) ma długość
\(h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
a promień okręgu opisanego (R)
\(R=\frac{2}{3}h=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Wysokość walca jest równa wysokości ostrosłupa.
Kąt nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej ostrosłupa i wysokością trójkąta podstawy. Mamy tutaj trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w trójkąt podstawy ostrosłupa, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej ostrosłupa. Kąt dany w zadaniu (\(60^0\) to kąt między promieniem okręgu wpisanego (r) i wysokością ściany bocznej. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy połowie promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
\(r=\frac{1}{2}R\\r=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
\(\frac{H}{r}=tg60^0\\H=r\cdot\ tg60^0\\H=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}\\H=2\)
Pole powierzchni walca
\(P_p=2\pi\cdot\ R^2+2\pi\cdot\ R\cdot\ H\\P_p=2\pi((\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot2)\\P_p=16\pi(\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{16(2+\sqrt{3})\pi}{3}\)
Wysokość tego trójkąta (h) ma długość
\(h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)
a promień okręgu opisanego (R)
\(R=\frac{2}{3}h=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
Wysokość walca jest równa wysokości ostrosłupa.
Kąt nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej ostrosłupa i wysokością trójkąta podstawy. Mamy tutaj trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w trójkąt podstawy ostrosłupa, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej ostrosłupa. Kąt dany w zadaniu (\(60^0\) to kąt między promieniem okręgu wpisanego (r) i wysokością ściany bocznej. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy połowie promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
\(r=\frac{1}{2}R\\r=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
\(\frac{H}{r}=tg60^0\\H=r\cdot\ tg60^0\\H=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}\\H=2\)
Pole powierzchni walca
\(P_p=2\pi\cdot\ R^2+2\pi\cdot\ R\cdot\ H\\P_p=2\pi((\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot2)\\P_p=16\pi(\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{16(2+\sqrt{3})\pi}{3}\)