Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
wiolka
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 70
Rejestracja: 05 wrz 2009, 22:26

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: wiolka » 17 gru 2009, 03:39

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym płaszczyzna ściany bocznej tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt 60 stopni,
krawędź podstawy wynosi 4 cm włożono do papierowej tuby w kształcie walca zamkniętej z obu stron.Oblicz, ile wykorzystano
materiału do wykonania tej tuby (nie uwzględniamy materiału na zagięcia). Wynik podaj bez przybliżeń.


dla mnie zadanie czarna magia

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 18 gru 2009, 01:32

Zakładamy, że ostrosłup włożono "na sztywno" (nie ma luzu). Wtedy okrąg podstawy walca jest opisany na trójkącie podstawy ostrosłupa. Promień tego okręgu (R) to promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o boku 4cm.
Wysokość tego trójkąta (h) ma długość

\(h=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\)

a promień okręgu opisanego (R)

\(R=\frac{2}{3}h=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Wysokość walca jest równa wysokości ostrosłupa.

Kąt nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej ostrosłupa i wysokością trójkąta podstawy. Mamy tutaj trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w trójkąt podstawy ostrosłupa, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej ostrosłupa. Kąt dany w zadaniu (\(60^0\) to kąt między promieniem okręgu wpisanego (r) i wysokością ściany bocznej. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równy połowie promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

\(r=\frac{1}{2}R\\r=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).

\(\frac{H}{r}=tg60^0\\H=r\cdot\ tg60^0\\H=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}\\H=2\)

Pole powierzchni walca

\(P_p=2\pi\cdot\ R^2+2\pi\cdot\ R\cdot\ H\\P_p=2\pi((\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot2)\\P_p=16\pi(\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{16(2+\sqrt{3})\pi}{3}\)