proszę o pomoc w rozwiązaniu:
Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości a.
Dwie sąsiednie ściany boczne są prostopadłe do podstawy i między sobą tworzą kąt beta.
Wiedząc,że dwie pozostałe ściany nachylone są do podstawy pod kątem alfa,wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
Dowolny ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Jeżeli dwie ściany boczne, prostopadłe do podstawy tworzą kąt \(\beta\), to kąt rombu jest równy \(\beta\).
Pole podstawy to pole rombu:
\(P_p=a^2\cdot\ sin\beta\).
Wysokość ostrosłupa jest równa jednej z krawędzi bocznych (wspólny bok obu prostopadłych do podstawy ścian bocznych). Ściany boczne prostopadłe do podstawy to trójkąty prostokątne, w których przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i bok rombu, a przeciwprostokątna to druga krawędź boczna na tej ścianie.Kąt \(\alpha\)to kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej (która nie jest prostopadła do podstawy) a wysokością podstawy (rombu).
W trójkącie prostokątnym z opisanym kątem \(\alpha\) przyprostokątnymi są Wysokość rombu i wysokość ostrosłupa, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej.
Wysokość rombu wyliczymy z pola rombu.
\(a\cdot\ h_r=a^2\cdot\ sin\beta\\h_r=a\cdot\ sin\beta\\\frac{H}{h_r}=tg\alpha\\H=a\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha\).
Wysokość ściany bocznej (\(h_b\):
\(\frac{h_r}{h_b}=cos\alpha\\h_b=\frac{h_r}{cos\alpha}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ sin\beta\cdot\ a\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha\\V=\frac{a^3\cdot\ sin^2\beta\cdot\ tg\alpha}{3}\).
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=2\cdot\frac{aH}{2}+2\cdot\frac{ah_b}{2}=a^2\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha+\frac{a^2\cdot\ sin\beta}{cos\alpha}\\P_b=a^2\cdot\ sin\beta\cdot(tg\alpha+\frac{1}{cos\alpha})\\P_b=a^2sin\beta\cdot\frac{sin\alpha+1}{cos\alpha}\).
Mam nadzieję, że nie pomyliłam się w zapisie.
Pole podstawy to pole rombu:
\(P_p=a^2\cdot\ sin\beta\).
Wysokość ostrosłupa jest równa jednej z krawędzi bocznych (wspólny bok obu prostopadłych do podstawy ścian bocznych). Ściany boczne prostopadłe do podstawy to trójkąty prostokątne, w których przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i bok rombu, a przeciwprostokątna to druga krawędź boczna na tej ścianie.Kąt \(\alpha\)to kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej (która nie jest prostopadła do podstawy) a wysokością podstawy (rombu).
W trójkącie prostokątnym z opisanym kątem \(\alpha\) przyprostokątnymi są Wysokość rombu i wysokość ostrosłupa, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej.
Wysokość rombu wyliczymy z pola rombu.
\(a\cdot\ h_r=a^2\cdot\ sin\beta\\h_r=a\cdot\ sin\beta\\\frac{H}{h_r}=tg\alpha\\H=a\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha\).
Wysokość ściany bocznej (\(h_b\):
\(\frac{h_r}{h_b}=cos\alpha\\h_b=\frac{h_r}{cos\alpha}\)
Objętość ostrosłupa:
\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ sin\beta\cdot\ a\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha\\V=\frac{a^3\cdot\ sin^2\beta\cdot\ tg\alpha}{3}\).
Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=2\cdot\frac{aH}{2}+2\cdot\frac{ah_b}{2}=a^2\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha+\frac{a^2\cdot\ sin\beta}{cos\alpha}\\P_b=a^2\cdot\ sin\beta\cdot(tg\alpha+\frac{1}{cos\alpha})\\P_b=a^2sin\beta\cdot\frac{sin\alpha+1}{cos\alpha}\).
Mam nadzieję, że nie pomyliłam się w zapisie.