Dowolny ostrosłup

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
heja
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1231
Rejestracja: 07 lut 2009, 12:28
Podziękowania: 32 razy
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Dowolny ostrosłup

Post autor: heja » 17 gru 2009, 03:06

proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości a.
Dwie sąsiednie ściany boczne są prostopadłe do podstawy i między sobą tworzą kąt beta.
Wiedząc,że dwie pozostałe ściany nachylone są do podstawy pod kątem alfa,wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

Awatar użytkownika
anka
Expert
Expert
Posty: 6571
Rejestracja: 30 sty 2009, 00:25
Podziękowania: 26 razy
Otrzymane podziękowania: 1113 razy
Płeć:

Post autor: anka » 17 gru 2009, 15:42

Czy pole powierzchni bocznej to \(a^2(tg\alpha+\sqrt{1+tg^2\alpha)}\) ?
Znasz odpowiedź do zadania, to ją podaj. Łatwiej będzie sprawdzić czy w rozwiązaniu zadania nie ma błędu.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 17 gru 2009, 15:47

Jeżeli dwie ściany boczne, prostopadłe do podstawy tworzą kąt \(\beta\), to kąt rombu jest równy \(\beta\).
Pole podstawy to pole rombu:

\(P_p=a^2\cdot\ sin\beta\).

Wysokość ostrosłupa jest równa jednej z krawędzi bocznych (wspólny bok obu prostopadłych do podstawy ścian bocznych). Ściany boczne prostopadłe do podstawy to trójkąty prostokątne, w których przyprostokątne to wysokość ostrosłupa i bok rombu, a przeciwprostokątna to druga krawędź boczna na tej ścianie.Kąt \(\alpha\)to kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej (która nie jest prostopadła do podstawy) a wysokością podstawy (rombu).
W trójkącie prostokątnym z opisanym kątem \(\alpha\) przyprostokątnymi są Wysokość rombu i wysokość ostrosłupa, a przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej.

Wysokość rombu wyliczymy z pola rombu.

\(a\cdot\ h_r=a^2\cdot\ sin\beta\\h_r=a\cdot\ sin\beta\\\frac{H}{h_r}=tg\alpha\\H=a\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha\).

Wysokość ściany bocznej (\(h_b\):

\(\frac{h_r}{h_b}=cos\alpha\\h_b=\frac{h_r}{cos\alpha}\)

Objętość ostrosłupa:

\(V=\frac{1}{3}a^2\cdot\ sin\beta\cdot\ a\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha\\V=\frac{a^3\cdot\ sin^2\beta\cdot\ tg\alpha}{3}\).

Pole powierzchni bocznej:

\(P_b=2\cdot\frac{aH}{2}+2\cdot\frac{ah_b}{2}=a^2\cdot\ sin\beta\cdot\ tg\alpha+\frac{a^2\cdot\ sin\beta}{cos\alpha}\\P_b=a^2\cdot\ sin\beta\cdot(tg\alpha+\frac{1}{cos\alpha})\\P_b=a^2sin\beta\cdot\frac{sin\alpha+1}{cos\alpha}\).

Mam nadzieję, że nie pomyliłam się w zapisie.

heja
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1231
Rejestracja: 07 lut 2009, 12:28
Podziękowania: 32 razy
Otrzymane podziękowania: 385 razy

Post autor: heja » 17 gru 2009, 16:03

do:" anki i ireny"

stokrotne dzięki,że się odezwałyście;
jeśli mogłybyście zrobić rysunek,to bardzo proszę;
odpowiedzi niestety nie znam