Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[max04]

Umieściłem wcześniej to zadanie na innym forum jeszcze i tam zrobiono to zadanie dużo prościej: http://forummatematyka.pl/viewtopic.php?f=2&t=52231 , za pomocą funkcji trygonometrycznych i odpowiedź jest ta sama, a rozwiązanie dużo krótsze.

[anka]

No tak. Piasek ja zwykle znajdzie coś prostszego

[max04]

Tylko, że nie rozumiem jego zapisu, jeżeli chodzi o te kąty (sinus i cosinus), dlaczego to jest tak jak napisał.

[max04]

"Odległości a , b przesuwamy z połowy wysokości do K i otrzymujemy odpowiednio: 2a i 2b - z podobieństwa trójkątów ; a kąty ostre przy K do podstawy mają odpowiednio:\(\alpha i \beta\)." - ?? Sinus jeszcze rozumiem dlaczego jest \(\frac{2a}{H}\)
ale cosinus, nie mam pojęcia.

[anka]

\(K\) - to spodek wysokości

[anka]

To wszystko z podobieństwa tych dużych i małych trójkątów.

[max04]

a no faktycznie, dziękuję za pomoc.

[anka]

"Odległości a , b przesuwamy z połowy wysokości do K i otrzymujemy odpowiednio: 2a i 2b - z podobieństwa trójkątów ; a kąty ostre przy K do podstawy mają odpowiednio:\(\alpha i \beta\)." - ?? Sinus jeszcze rozumiem dlaczego jest \(\frac{2a}{H}\)
ale cosinus, nie mam pojęcia.

II sposób
\(2x\)- krawędź podstawy
W skrócie:
1. Z podobieństwa trójkątów
\(|OF|=2a\)
\(|OG|=H\)

2. Wyznaczam \(H^2\)
\(sin\alpha=\frac{|OF|}{|SO|}=\frac{2a}{H}\)
\(cos\alpha=\frac{|OF|}{|OB|}=\frac{2a}{x\sqrt 2}\)
\(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)
\(\left(\frac{2a}{H}\right)^2+ \left(\frac{2a}{x\sqrt 2}\right)^2=1\)
\(\frac{4a^2}{H^2}+\frac{4a^2}{2x^2}=1\)
\(\frac{4a^2}{H^2}=1-\frac{4a^2}{2x^2}\)
\(\frac{4a^2}{H^2}=\frac{2x^2-4a^2}{2x^2}\)
\(\frac{4a^2}{H^2}=\frac{2(x^2-2a^2)}{2x^2}\)
\(\frac{4a^2}{H^2}=\frac{x^2-2a^2}{x^2}\)
\(H^2=\frac{4a^2x^2}{x^2-2a^2}\)

3. Obliczam \(x^2\)
\(sin\beta=\frac{|OG|}{|SO|}=\frac{2b}{H}\)
\(cos\beta=\frac{|OG|}{|OE|}=\frac{2b}{\frac{1}{2}|AB|}=\frac{2b}{x}\)
\(sin^2\beta+cos^2\beta=1\)
\(\left(\frac{2b}{H}\right)^2+ \left(\frac{2b}{x}\right)^2=1\)
\(\frac{4b^2}{H^2}+\frac{4b^2}{x^2}=1\)
\(\frac{4b^2}{\frac{4a^2x^2}{x^2-2a^2}}+\frac{4b^2}{x^2}=1\)
\(\frac{4b^2(x^2-2a^2)}{4a^2x^2}=1-\frac{4b^2}{x^2}\)
\(\frac{b^2(x^2-2a^2)}{a^2x^2}=\frac{x^2-4b^2}{x^2}\ \ \ |\cdot a^2x^2\)
\(b^2(x^2-2a^2)=a^2(x^2-4b^2)\)
\(b^2x^2-2a^2b^2=a^2x^2-4a^2b^2\)
\(b^2x^2-a^2x^2=-4a^2b^2+2a^2b^2\)
\(x^2(b^2-a^2)=-2a^2b^2\ \ \ |:(b^2-a^2)\)
\(x^2=\frac{-2a^2b^2}{b^2-a^2}\)
\(x^2=\frac{2a^2b^2}{a^2-b^2}\)

4. Obliczam \(H\)
\(H^2=\frac{4a^2x^2}{x^2-2a^2}\)
\(H^2=\frac{4a^2\cdot \frac{2a^2b^2}{a^2-b^2}}{\frac{2a^2b^2}{a^2-b^2}-2a^2}\)
\(H^2=\frac{ \frac{8a^4b^2}{a^2-b^2}}{\frac{2a^2b^2}{a^2-b^2}-\frac{2a^2(a^2-b^2)}{a^2-b^2}}\)
\(H^2=\frac{ \frac{8a^4b^2}{a^2-b^2}}{\frac{2a^2b^2-2a^2(a^2-b^2)}{a^2-b^2}}\)
\(H^2=\frac{8a^4b^2}{a^2-b^2}:\frac{2a^2b^2-2a^4+2a^2b^2}{a^2-b^2}\)
\(H^2=\frac{8a^4b^2}{a^2-b^2}:\frac{4a^2b^2-2a^4}{a^2-b^2}\)
\(H^2=\frac{8a^4b^2}{a^2-b^2}\cdot\frac{a^2-b^2}{4a^2b^2-2a^4}\)
\(H^2=\frac{8a^4b^2}{4a^2b^2-2a^4}\)
\(H^2=\frac{8a^4b^2}{2a^2(2b^2-a^2)}\)
\(H^2=\frac{4a^2b^2}{2b^2-a^2}\)
\(H=\sqrt{\frac{4a^2b^2}{2b^2-a^2}}\)
\(H=\frac{2ab}{\sqrt{2b^2-a^2}}\)

5. Objętość
\(V=\frac{1}{3}\cdot(2x)^2H\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot4x^2\cdot\frac{2ab}{\sqrt{2b^2-a^2}}\)
\(V=\frac{1}{3}\cdot4\cdot\frac{2a^2b^2}{a^2-b^2}\cdot\frac{2ab}{\sqrt{2b^2-a^2}}\)
\(V=\frac{16a^3b^3}{3(a^2-b^2)\sqrt{2b^2-a^2}}\)