Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[max04]

Witam, mam zadanie ze stereometrii, jest ono dosyć trudne:
Treść: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległości środka wysokości od krawędzi bocznej i ściany bocznej wynoszą odpowiednio: a i b. Obliczyć objętość ostrosłupa.

Ja oznaczyłem sobie wysokość ostrosłupa jako 2x ( jej połowy wynoszą x). Krawędź podstawy jako k, a krawędź boczną jako c i wys. trójkąta równoramiennego (ściany bocznej) jako h. Utworzyłem 3 trójkąty prostokątne, z tw. pitagorasa uzyskałem 3 układy równań, z których po wyliczeniach wyszło mi, że \(k^2=16x^2\). Mamy obliczyć objętość, więc Pp*H. Wysokość= 2x, a Pp=\(k^2= 16x^2\). Teraz tylko trzeba uzależnić x od a i b, myślę, że trzeba to zrobić z dwóch trójkątów prostokątnych, które powstały po poprowadzeniu odległości od krawędzi bocznej i ściany bocznej, ale ani z własności sinusów ani z cosinów, ani z niczego innego nie mogę tego wyznaczyć, stąd moja prośba o pomoc,
dziękuję z góry

[anka]

\(|FS|=x\)
\(|HS|=y\)

Z Pitagorasa dla trójkąta GFS
\((\frac{H}{2})^2=a^2+x^2\)
Z Pitagorasa dla trójkąta GHS
\((\frac{H}{2})^2=b^2+y^2\)
Stąd
\(a^2+x^2=b^2+y^2\)

Z podobieństwa trójkątów GFS i OBS
\(\frac{x}{a}=\frac{H}{\frac{k\sqrt2}{2}}\)

\(\frac{x}{a}=\frac{2H}{k\sqrt2} \Rightarrow 2H=\frac{xk\sqrt2}{a}\)
Z podobieństwa trójkątów GHS i OES
\(\frac{y}{b}=\frac{H}{\frac{k}{2}}\)

\(\frac{y}{b}=\frac{2H}{k} \Rightarrow 2H=\frac{ky}{b}\)
stąd
\(\frac{xk\sqrt2}{a}=\frac{ky}{b}\)
\(y=\frac{xb\sqrt2}{a}\)

Podstawiamy do \(a^2+x^2=b^2+y^2\) i obliczamy \(x\)
Mając \(x\) z \((\frac{H}{2})^2=a^2+x^2\) można policzyć \(H\), a potem \(k\)

[max04]

Dziękuję za pomoc, zaraz przeanalizuję Twój sposób obliczeń

[max04]

Policzyłem i wyszło mi tak:
\(H=\frac{2a^2}{b}\),
\(k= \frac{2a^3\sqrt{2} }{xb}\),
mogłabyś sprawdzić i zobaczyć czy dobrze mi wyszło, nie ma aż tak dużo tego liczenia.

[anka]

\(\frac{x}{a}=\frac{2H}{k\sqrt2}\)

Potrzebne jest \(k^2\)
\(k=\frac{aH\sqrt2}{x}\)
\(k^2=\frac{2a^2H^2}{x^2}\)

\(H=\frac{2ab}{\sqrt{2b^2-a^2}}\)
\(H^2=\frac{4a^2b^2}{2b^2-a^2}\)

\(x^2=\frac{a^2(b^2-a^2)}{a^2-2b^2}\)

[anka]

A sprawdziłeś \(x\) ?

[max04]

tak x i H mam dobrze a \(k^2 = \frac{8a^2b^2}{b^2-a^2}\), chyba dobrze policzylem

[anka]

Mam inny mianownik:
\(k^2 = \frac{8a^2b^2}{a^2-b^2}\)

[max04]

A już widzę, ta sama sytuacja, to jest to samo, bo zależy jaki x czy ten mój co obliczyłem czy ten Twój się podstawi, i teraz zobacz jaka objętość wychodzi... no chyba, że tak ma być

[anka]

Dlatego pytałam czy znasz odpowiedź
Mam:
\(V=\frac{16a^3b^3}{3(a^2-b^2)\sqrt{2b^2-a^2}}\)

[max04]

I co o tym myślisz? Może być taka objętość o odpowiedzi:
\(\frac{16a^3*b^3}{3(a^2-b^2)*( \sqrt{2b^2-a^2} }\)

[max04]

Heh, w tym samym czasie Xd

[max04]

Odpowiedzi niestety nie znam, ale to powinno być dobrze, bo przecież wszystko było robione prawidłowo.

[anka]

Poprosiłam o konsultacje, ale nie wiem czy dzis dostane odpowiedź.
Mam nadzieję, że jednak nigdzie błędu nie zrobiliśmy.

[max04]

Ok, ja też jeszcze to przeanalizuje ale pewnie jest dobrze, odpowiedzi może być więcej ale wszystkie mają tą samą wartość dla dowolnych a i b, pozdrawiam i dziękuję za pomoc