stożek wpisany w walec

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
NieDlaOka37
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 86
Rejestracja: 07 mar 2009, 13:57

stożek wpisany w walec

Post autor: NieDlaOka37 » 01 gru 2009, 17:00

W walec o wysokości długości H jest wpisany stożek w ten sposób, że podstawa stożka jest podstawą walca, a wierzchołek stożka jest środkiem drugiej podstawy walca. Powierzchnie boczne stożka i walca są równe. Oblicz objętość stożka i miarę kąta rozwarcia stożka.
odp. powinny być takie: V=Pi*H^3; alfa=(2Pi)/3
objętość wyszła mi prawidłowa ale kąt alfa mi nie wychodzi, bo wyszło mi, że cosAlfa=-1 czyli 180stopni...
Liczyłam to ze wzoru cosinusów, czy ktoś mógłby mi pomóc w tym zadaniu??

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9851 razy
Płeć:

Post autor: irena » 01 gru 2009, 20:40

Spójrz na trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest tworząca stożka (l), a przyprostokątnymi wysokość (H) i promień podstawy (r). Z równości powierzchni bocznych brył: \(2\pi\cdot\{rH}=\pi\cdot\{rl}\) mamy, że l = 2H.
Stąd, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy \(r=H\sqrt{3}\).

Kąt między wysokością a tworzącą stożka to połowa kąta rozwarcia stożka.

Czyli \(sin{\frac{1}{2}\alpha}=\frac{H\sqrt{3}}{2H}=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Ponieważ kąt \(\frac{1}{2}\alpha\) musi być kątem ostrym,
więc \(\frac{1}{2}\alpha=\frac{\pi}{3}\)

czyli \(\alpha=\frac{2}{3}\pi\)