Podaj o ile zwiększyła się powierzchnia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
walentynka999
- Witam na forum
- Posty: 1
- Rejestracja: 22 lis 2009, 12:31
Podaj o ile zwiększyła się powierzchnia
W sześcianie o krawędziach 10 cm wydrążono ostrosłup. O ile zwiększyła sie powierzchnia?
Ostrosłup opisany jest nieprecyzyjnie.
Ja przyjęłam, że podstawa ostrosłupa to jedna ze ścian sześcianu. a jego wierzchołek jest środkiem przeciwległej ściany tego sześcianu.
Ściany boczne tego ostrosłupa są wówczas trójkątami równoramiennymi o podstawie 10cm. Ramię takiego trójkąta można obliczyć (twierdzenie Pitagorasa) z trójkąta prostokątnego, w którym jedną z przyprostokątnych jest krawędź sześcianu (10cm), drugą przyprostokątną jest połowa przekątnej ściany (\(5\sqrt{2}\)cm), a przeciwprostokątną - to właśnie ramię. Ma ono długość \(5\sqrt{6}\)cm. Wysokość ściany bocznej, czyli trójkąta równoramiennego o podstawie 10cm i ramionach \(5\sqrt{6}\)cm (z tw. Pitagorasa jest równa \(5\sqrt{5}\)cm. Pole tego trójkąta zatem wynosi Pole powierzchni bocznej to 4 trójkąta, czyli jest równe \(25\sqrt{5}cm^2\). Cała powierzchnia boczna ostrosłupa ma więc pole \(100\sqrt{5}cm^2\).
Powierzchnię bryły po wydrążeniu stanowi 5 ścian sześcianu oraz powierzchnia boczna ostrosłupa, czyli \((500+100\sqrt{5})cm^2\). Powierzchnia całego sześcianu to \(600cm^2\).
Po wydrążeniu zatem powierzchnia wzrosła o \((100\sqrt{5}-100)cm^2=100(\sqrt{5}-1)cm^2\).
Ja przyjęłam, że podstawa ostrosłupa to jedna ze ścian sześcianu. a jego wierzchołek jest środkiem przeciwległej ściany tego sześcianu.
Ściany boczne tego ostrosłupa są wówczas trójkątami równoramiennymi o podstawie 10cm. Ramię takiego trójkąta można obliczyć (twierdzenie Pitagorasa) z trójkąta prostokątnego, w którym jedną z przyprostokątnych jest krawędź sześcianu (10cm), drugą przyprostokątną jest połowa przekątnej ściany (\(5\sqrt{2}\)cm), a przeciwprostokątną - to właśnie ramię. Ma ono długość \(5\sqrt{6}\)cm. Wysokość ściany bocznej, czyli trójkąta równoramiennego o podstawie 10cm i ramionach \(5\sqrt{6}\)cm (z tw. Pitagorasa jest równa \(5\sqrt{5}\)cm. Pole tego trójkąta zatem wynosi Pole powierzchni bocznej to 4 trójkąta, czyli jest równe \(25\sqrt{5}cm^2\). Cała powierzchnia boczna ostrosłupa ma więc pole \(100\sqrt{5}cm^2\).
Powierzchnię bryły po wydrążeniu stanowi 5 ścian sześcianu oraz powierzchnia boczna ostrosłupa, czyli \((500+100\sqrt{5})cm^2\). Powierzchnia całego sześcianu to \(600cm^2\).
Po wydrążeniu zatem powierzchnia wzrosła o \((100\sqrt{5}-100)cm^2=100(\sqrt{5}-1)cm^2\).