Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego o podstawie trójkątnej, w którym krawędź podstawy ma długość k, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę alfa.
w odpowiedziach jest: v=(k^3*tg alfa)/12 ; Pc= [(k^2*pierwiastek z 3)/4] + [(3/2)*k^2] * [(pierwiastek z 4tg^2 alfa +1)/12]
Kto mógłby mi pomóc?
ostrosłup
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Oznacz ABC jako wierzchołki podstawy oraz W jako wierzchołek ostrosłupa.Spodek wysokości ostrosłupa
nazwij S,dzieli on wysokość \(\frac{k \sqrt{3} }{2}\) na części w stosunku 2:1. Punkt D jest środkiem krawędzi podstawy i wierzchołkiem danego kąta alfa.
Trójkąt WSD jest prostokątny i znasz w nim kąt alfa oraz przyprostokątną \(SD= \frac{1}{3} \cdot \frac{k \sqrt{3} }{2}= \frac{k \sqrt{3} }{6}\).
\(tg \alpha = \frac{H}{SD}\) ,H oznacza wysokość SW ostrosłupa. \frac{}{}
\(H=SD \cdot tg \alpha = \frac{k \sqrt{3} }{6} \cdot tg \alpha\)
Objętość \(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{k^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{k \sqrt{3} }{6} \cdot tg \alpha = \frac{k^3tg \alpha }{24}\)
Pole boczne to 3 razy pole trójkąta BCS,którego podstawa ma długość k zaś wysokość to odcinek DW.
z tw. Pitagorasa \(DW= \sqrt{SD^2+SW^2}= \sqrt{ (\frac{k \sqrt{3} }{6})^2+( \frac{k \sqrt{3} }{6} \cdot tg \alpha )^2 }=\) \frac{k}{6} \cdot \sqrt{3+3tg^2 \alpha }[/tex]
\(P_{ boczne}=3 \cdot \frac{1}{2} \cdot k \cdot \frac{k}{6} \cdot \sqrt{3+3tg^2 \alpha }= \frac{k^2 \sqrt{3+3tg^2 \alpha } }{4}\)
Jeśli chcesz mieć pole całkowite ,to dodaj jeszcze \(P_{ podstawy}= \frac{k^2 \sqrt{3}}{4}\).
nazwij S,dzieli on wysokość \(\frac{k \sqrt{3} }{2}\) na części w stosunku 2:1. Punkt D jest środkiem krawędzi podstawy i wierzchołkiem danego kąta alfa.
Trójkąt WSD jest prostokątny i znasz w nim kąt alfa oraz przyprostokątną \(SD= \frac{1}{3} \cdot \frac{k \sqrt{3} }{2}= \frac{k \sqrt{3} }{6}\).
\(tg \alpha = \frac{H}{SD}\) ,H oznacza wysokość SW ostrosłupa. \frac{}{}
\(H=SD \cdot tg \alpha = \frac{k \sqrt{3} }{6} \cdot tg \alpha\)
Objętość \(V= \frac{1}{3} \cdot \frac{k^2 \sqrt{3} }{4} \cdot \frac{k \sqrt{3} }{6} \cdot tg \alpha = \frac{k^3tg \alpha }{24}\)
Pole boczne to 3 razy pole trójkąta BCS,którego podstawa ma długość k zaś wysokość to odcinek DW.
z tw. Pitagorasa \(DW= \sqrt{SD^2+SW^2}= \sqrt{ (\frac{k \sqrt{3} }{6})^2+( \frac{k \sqrt{3} }{6} \cdot tg \alpha )^2 }=\) \frac{k}{6} \cdot \sqrt{3+3tg^2 \alpha }[/tex]
\(P_{ boczne}=3 \cdot \frac{1}{2} \cdot k \cdot \frac{k}{6} \cdot \sqrt{3+3tg^2 \alpha }= \frac{k^2 \sqrt{3+3tg^2 \alpha } }{4}\)
Jeśli chcesz mieć pole całkowite ,to dodaj jeszcze \(P_{ podstawy}= \frac{k^2 \sqrt{3}}{4}\).
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.