GRANIASTOSŁUP

[kinia28]

1.Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny,którego przyprostokątne mają dł.12cm i 5cm.Wysokość ma 12cm.Oblicz pole powierzchni całkowitej,pole boczne i objętość.
2.Krawędż podstawy granastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa a=10cm,krawędż boczna b=17cm.Oblicz pole powierzchni i objętość.
3.W prostopadłościanie o podstawie kwadratowej dł.krawędzi podstawy ma a=4 pierwiastków z 2.Przekątna prostopadłościanu ma d=10cm.Oblicz pole powierzchni całkowitej.
4.Trójkąt prostokątny przyprostokątnych dł 3pierwiastków z 3 i 3 obracamy dookoła dłuższej przyprostokątnej.Oblicz pole powierzchni powstałej bryły i objętość.
5.Prostokąt o bokach 3 i 5 obraca się względem krótszego boku.Oblicz pole powerzchni bocznej,pole całkowite i objętość.
6.Trójkąt równoramienny o podstawie a=6 i kącie ostrym 30 stopni obraca się względem prostej zawierającej wysokość trójkąta.Oblicz obj.bryły

[Galen]

1)
Trzecią krawędź podstawy obliczysz z tw.Pitagorasa
\(c^2=12^2+5^2=144+25=169\\
c=13\;cm.
P_{podstawy}=\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 5=30\;cm^2\\
P_{boczne}=12\cdot 12+5\cdot 12+13\cdot 12=30\cdot 12=360\;cm^2\\
P_{calkowite}=2\cdot P_{podstawy}+P_{boczne}=2\cdot 30+360=420\;cm^2\\
V=P_{podstawy}\cdot H=30\cdot 12=360\;cm^3\)

[Galen]

2)
W podstawie masz kwadrat o boku 10 cm
Wysokość H=17cm
\(P_{powierzchni}=2\cdot P_{podstawy}+P_{boczne}=2\cdot 10^2+4\cdot 10\cdot 17=200+680=880\;cm^2\\
V=P_{podstawy}\cdot H=100\cdot 17=1700\;cm^3\)

[josselyn]

5
\(r=5
h=3
V= \pi r^2h=75 \pi
Pb=2 \pi hr=30 \pi
Pc=2 \pi r(r+h)=80 \pi\)

[Galen]

3)
Pole całkowite jest sumą pól dwóch podstaw i czterech jednakowych ścian bocznych.
Masz dany bok kwadratu,to policzysz jego przekątną.
\(a=4\sqrt{2}\\
p=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8\)

Masz daną przekątną prostopadłościanu,musisz obliczyć wysokość H tego prostopadłościanu.
Z tw.Pitagorasa:
\(H^2+p^2=d^2\\
H^2+8^2=10^2\\
H^2+64=100\\
H^2=36\\
H=6\)
Pole:
\(P_{calkowite}=2\cdot (4\sqrt{2})^2+4\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6=64+96\sqrt{2}\)

[Galen]

4)
Powstaje stożek o promieniu podstawy 3 i wysokości 3pierwiastki z 3.
Tworzącą oblicz z tw.Pitagorasa
\(l^2=r^2+h^2=3^2+(3\sqrt{3})^2=9+27=36\\
l=6\\
r=3\\
h=3\sqrt{3}\\
P=\pi r^2+\pi r l=\pi\cdot r(r+l)=\pi\cdot 3(3+6)=27\pi\\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot 9\cdot 3\sqrt{3}=9\pi \sqrt{3}\)

[Galen]

W zadaniu 6 nie wiem,który kąt ma 30 stopni.
Czy kąt ostry przy podstawie,czy kąt ostry między ramionami.
Podaj pełną treść zadania.

[kinia28]

trójkąt równoramienny o podstawie a=6 i kącie ostrym alfa 30 stopni obraca się względem prostej zawierającej wysokość trójkąta.oblicz objętość

[Galen]

Być może jest to kąt przy wierzchołku A i umówmy się,że jest to przy podstawie AB trójkąta równoramiennego.
Masz dany kąt A=30 stopni, r=1/2 a=3
Powstaje stożek.
Trzeba obliczyć tworzącą l oraz wysokość h tego stożka.
Ramię trójkąta jest równe tworzącej l.
\(cos30^o=\frac{r}{l}=\frac{3}{l}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\
l\sqrt{3}=6\\
l=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)
Wysokośc obliczysz z tw.Pitagorasa
\(h^2+r^2=l^2\\
h^2=l^2-r^2=(2\sqrt{3})^2-3^2=12-9=3\\
h=\sqrt{3}\)
Podstaw do wzorów i licz
\(P_{boczne}=\pi r l=\pi \cdot 3\cdot 2\sqrt{3}=6\pi \sqrt{3}\\
P_{calkowite}=P_{podstawy}+P_{boczne}=\pi\cdot 3^2+6\p \sqrt{3}=9\pi+6\sqrt{3}\cdot \pi\\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3} \pi\)